Devoir geometrie

par **moa133_6** » 31 Juil 2006, 13:12

bonjour a tous... voila pendant ces vacances je dois faire des devoir de maths... et j'ai un probleme sur un exercice de geometrie et j'aimerai avoir un peu d'aide...

On considere un pentagone regulier direct ABCDE de centre O
montrer que:
a) les sommes vectorielles OB+OE et OC+OD sont des vecteur colineaires à OA
b) les sommes vectorielles OA+OC et OD+OE sont des vecteur colineaires à OB

En deduire l'egalité:
OA+OB+OC+OD+OE=0

merci de votre aide...

par **nox** » 31 Juil 2006, 18:24

si je ne m'abuse ca me rappelle quelque chose ce probleme :p

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=17044&highlight=pentagone

non?

par **moa133_6** » 31 Juil 2006, 19:45

effectivement... je n'avais pas vu mm après avoir recherché...

par **rapiso** » 01 Aoû 2006, 18:00

A titre d'information, on peut arriver à ce résultat directement. On peut décider pour simplifier que O a pour affixe 0 dans le plan complexe.
Dans ce plan complexe toujours pour simplifier (on pourrait s'en passer) on choisit que 0A=1 (A appartient au cercle unité) et plus précisément za=1
ainsi zb=e^i2Pi/5, zc=e^i4Pi/5, etc...
En terme complexe la somme vectorielle revient à additionner les affixes za+zb+zc+zd+ze. Or la somme des racines n ièmes de l'unité est nulle donc à priori la somme des racines 5 ièmes dont il est question ici (se démontre avec la somme des termes d'une série géométrique) d'où le résultat.
Cette égalité vectorielle est vraie et se démontre identiquement pour un triangle équilatéral, un carré, un pentagone, un hexagone, etc... en utilisant les racines nième de l'unité.

Cordialement

Devoir geometrie

devoir geometrie

Qui est en ligne