Deux limites

[Dacu]

Bonjour à tous

Calculer:

1) .

2) .

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1) c'est assez facile de voir que la limite est 1.

En effet pour la partie de à 1 tu peux majorer facilement pour voir que ça tend vers 0.

donc tu peux remplacer dans la question la borne 1 par

Maintenant tu peux approcher cos(x)-sin(x) par sa tangente en 0, i.e 1-x.

L'expression tend vers 1 et c'est une majoration car cos(x)-sin(x) est concave.

Pour la minoration tu peux bidouiller un peu en utilisant

où c est n'importe quel nombre entre a et b.

Ici a=1-x et b=cos(x) -sin (x).

Cela donnera "quelque chose de positif que tu peux majorer facilement"

En passant à l'intégrale et en multipliant par n ce terme va tendre vers 0.

pour le 2)la limite est 3. On peut déjà translater pour avoir une intégrale de -1 à 1 d'une fonction paire.

On est donc amener )à calculer la limite de


Mais cette fonction cv simplement vers la fonction (1+u) dont l'intégrale vaut 3/2. La conclusion s'obtient immédiatement avec la convergence dominée.