Deux exercices pour s'amuser !

[Timothé Lefebvre]

Bonsoir à tous

Je vous propose ici deux petits exercices sympathiques destinés à faire réfléchir un peu !
Ils doivent être résolus avec les outils de la classe de seconde et s'adressent donc plus spécialement aux élèves de ce niveau.

Enoncé 1 :

On considère le nombre qui s'écrit 20002000...2000 où on retrouve 2000 fois la séquence "2000".
Ce nombre est-il le carré d'un entier ?

Enoncé 2 :

Résoudre dans l'équation


Je verrai plus tard en fonction des réponses s'il y a lieu d'apporter des indices.

Bon courage et bonne soirée

PS : je demanderai à ceux qui trouveraient la réponse rapidement de la mettre en blanc histoire de laisser les autres réfléchir un peu, merci !

[Nightmare]

Bonsoir,

1. rapidement :

20002000....2000=2000*(1+10^3+...+10^6000)

La valuation 5-adique de 2000 est 3, celle du nombre de droite est nulle. Conclusion la valuation 5-adique de notre nombre est impaire. Ce ne peut être un carré parfait.

[Nightmare]

Le 2.

L'équation équivaut à :

VV(sin²(x))+VV(cos²(x))=1 (V=racine carrée)

Or, puisque sin(x) et cos(x) doivent être dans [0,1], on a forcément :
VV(sin²(x)) < sin²(x) et VV(cos²(x)) < cos²(x), les inégalités étant strictes sauf lorsque sin²(x) ou cos²(x) valent 0 ou 1

On a donc VV(sin²(x))+VV(cos²(x)) < sin²(x)+cos²(x)=1

L'égalité n'a donc lieu que lorsque sin²(x)=1 et cos²(x)=0 ou lorsque sin²(x)=0 et cos²(x)=1

Les solutions découlent

[busard_des_roseaux]

Bonjour NightMare,

pour le (2), ton raisonnement est correct, mais les inégalités strictes
sont écrites dans le mauvais sens. Il s'agit d'un lapsus , mais qui pourrait confuser des lycéens de seconde, qui viennent juste d'étudier
la relation d'ordre :we:

il y a une autre méthode, plus laborieuse, qui utilise des
outils de classe de Troisième.

2.



Vcos (x) + V sin(x)=1
Vcos(x)- V sin(x)=cos(x)-sin(x) (quantité conjuguée)


de fil en aiguille, on obtient une équation-produit nul:
sin(x)cos(x) ( sin x cos x -4 ) =0

on termine comme NightMare.

[Timothé Lefebvre]

Oui, Busard des Roseaux à raison, il est possible de simplifier plus la solution pour la rendre atteignable pour un élève de seconde.

[Nightmare]

Tu as raison Busard pour les inégalité, merci d'avoir corrigée.

Concernant ma solution, elle est largement de niveau seconde, elle utilise juste le fait que la racine d'un élément de [0,1] est supérieur à cet élément lui même.

[Zweig]

Salut,

On pose et . Ces deux réels vérifient le système suivant :





Or,



Ainsi,



Si , alors , impossible car

D'où. On en déduit donc facilement les solutions.