Deux constructions pour le même ensemble

[Metalleuse]

Bonjour à tous. Voilà mon problème :

L'objectif est de construire deux ensembles de points et de démontrer, en utilisant les coordonnées polaires et cartésiennes, qu'il s'agit du même ensemble.

I- L'ellipse du jardinier

Un jardinier fixe les deux extrémités d'une corde de longueur 2a à deux points fixes A et B (2a > AB). Il tend la corde, obtient un point M qu'il déplace en conservant la corde tendue (donc MA + MB = 2a).

L'ensemble décrit par M est une éllipse.

Dans un repère orthonormal (O;i,j), on place les points A(-4;0) et B (4;0).

Il s'agit de construire l'ensemble E des points M tels que MA + MB = 10.

On construit le cercle C de centre A et de rayon 10. P est un point de C, la médiatrice d du segment [BP] coupe (AP) en M. Il est évident que MA + MB = MA + MP = 10.

Lorsque P se déplace sur C, on obtient le lieu de M. On note (x;y) les coordonnées cartésiennes du point M.

Questions :

1)a) Prouvez que MA² - MB² = 16x et que MA² + MB² = 2(x²+y²+16) [1]

b) En tenant compte de MA + MB = 10, déduisez-en que MA - MB = 8÷5x.

c) Vérifiez alors que MA = 5 + 4÷5 x et MB = 5 - 4÷5 x.

d) En remplaçant MA et MB dans [1], déduisez-en que x²÷25 + y²÷9 = 1 [2]


2) Réciproquement, tout point M(x;y) tel que x²÷25 + y²÷9 = 1 est-il un point de E ?

a) En écrivant y²÷9 = 1 - x²÷25, prouvez que x²<25 ou -5<x<5

b) Après avoir calculé MA² et MB² en fonction de x et y, démontrez que MA² = (5 + 4÷5 x)² et MB² = (5 - 4÷5 x)²

c) En tenant compte de la question 2)a), déduisez-en que MA = 5 + 4÷5 x et MB = 5 - 4÷5 x.
Prouvez alors que MA + MB = 10.


Conclusion : L'ensemble E des points M tels que MA + MB = 10 est la courbe d'équation x²÷25 + y²÷9 = 1


En fait, j'ai réussi à répondre à toutes les questions saufs à celles-ci :

[B]b)[/B] Après avoir calculé MA² et MB² en fonction de x et y, démontrez que MA² = (5 + 4÷5 x)² et MB² = (5 - 4÷5 x)²

c) En tenant compte de la question 2)a), déduisez-en que MA = 5 + 4÷5 x et MB = 5 - 4÷5 x.
Prouvez alors que MA + MB = 10.

Pour la première, je ne comprends vraiment pas ce qu'on me demande : je ne sais pas de quels MA et MB ils me parlent. Pareil pour la deuxième sauf que je pense que pour prouver que MA + MB = 10, il faut dire que

5 + 4÷5 x + 5 - 4÷5 x
= 10


Merci à tous d'avoir lu ce message et de me répondre si vous avez une réponse ou du moins si vous savez de quel MA et MB ils me parlent.

[Zebulon]

Bonjour,
plus précisément, quel est ton problème? Tu as un énoncé? Tu as réussi à faire des trucs?
Zeb.

[Metalleuse]

Désolé mais j'avais pas fini d'écrire le message : regarde en haut