II- Une autre construction
Dans un repère orthonormal direct (O;i,j), on construit les cercles C1 et C2 de centre O et de rayons respectifs 5 et 3.
P est un point quelconque de C1. Le segment [OP] coupe C2 en Q. La perpendiculaire à (Ox) passant par P coupe la perpendiculaire à (Oy) passant par Q en M.
Montrons que le lieu L du point M lorsque P décrit C1 est l'éllipse construite au paragraphe 1.
Pour cela, on va définir le point mobile P du cercle C1 par ses coordonnées polaires en posant (i,OP) =
.Questions :
1)a) Quelles sont les coordonnées polaires de P? de Q?
b) Déduisez-en leurs coordonnées cartésiennes.
2)a) Vérifiez que les coordonnées cartésiennes (x;y) de M sont : x = 5 cos
et y = 3 sin .b) Prouvez que les coordonnées cartésiennes de M sont telles que x²÷25 + y²÷9 = 1
3) Réciproquement, tout point M de E peut-il être obtenu par la construction décrite ci-dessus?
Notons M un point de coordonnées (x;y) telles que x²÷25 + y²÷9 = 1
a) Prouvez que -1<x÷5<1 et -1<y÷3<1
b) Utilisez le cercle trigonométrique pour démontrer qu'il existe un unique réel
de ]-;);;)] tel que x = 5cos;) et y = 3sin;).c) Justifiez alors que le point M peut être obtenu selon la construction indiquée ci-dessus.
Concluez.
En fait, j'ai répondu à toutes les questions sauf à celles-ci :
a) Prouvez que -1<x÷5<1 et -1<y÷3<1
b) Utilisez le cercle trigonométrique pour démontrer qu'il existe un unique réel
de ]-;);;)] tel que x = 5cos;) et y = 3sin;).c) Justifiez alors que le point M peut être obtenu selon la construction indiquée ci-dessus.
Concluez.
Pour la première, je pensais que on pouvait dire que x÷5 étant le cosinus de M, il était automatiquement compris entre -1 et 1 et pareil pour y÷3 (avec le sinus) mais je crois qu'on attend plutôt des calculs et là, je n'ai aucune idée de comment faire.
Pour la troisième, je crois bien qu'elle dépend de la deuxième ; or je ne comprends par grand chose aux cercles trigonométriques.
Merci à tous d'avoir lu ce long message et à ceux qui auront quelques indications à m'apporter de me les donner, ça m'aiderait beaucoup. Je pense que ce site n'est pas fait pour donner simplement des réponses donc quelques petits indices sur la façon de faire seraient parfaits (bien sur, je ne suis pas contre une plus grande aide!).
Merci d'avance à tout le monde.
donc 
