Deux branches parabolique pour une même fonction

[most]

salut:
sachant f(x)=x+3 -xe^{2x}
au voisinage de +infini on a:
limite de {f(x)/x} est -infini donc branche parabolique de direction l'axe
des ordonnées
mais aussi :
limite de {f(x)-x} est -infini donc branche parabolique de direction cette fois-
ci la droite d'equation y=x
ma question : quelle est la direction de la branche qu'on peut choisir pour la
courbe de la fonction (f(x) : ci-dessus) au voisinage de +infini
merci auparavant ...

[bombastus]

Bonsoir,

si limite de {f(x)/x}=a et que a est fini et non nul, alors on cherche la limite de f(x)-ax pour trouver la branche parabolique.

Dans ton cas, a est infini, donc f possède une branche parabolique d'axe (Oy) en plus l'infini.

[most]

Bonsoir,

si limite de {f(x)/x}=a et que a est fini et non nul, alors on cherche la limite de f(x)-ax pour trouver la branche parabolique.

Dans ton cas, a est infini, donc f possède une branche parabolique d'axe (Oy) en plus l'infini.

je sais, merci , mais:
par analogie du fait que si: lim(f(x)-(ax+b))=0 ssi y=ax+b asymptote de la courbe de f
est ce qu'on ne peut avoir:
lim (f(x)-ax)= infinie ssi y=ax est la direction de la branche parabolique
du fait que la courbe de f s'éloigne de y=ax au voisinage de +infini

[Ben314]

je sais, merci , mais:
par analogie du fait que si: lim(f(x)-(ax+b))=0 ssi y=ax+b asymptote de la courbe de f
est ce qu'on ne peut avoir:
lim (f(x)-ax)= infinie ssi y=ax est la direction de la branche parabolique
du fait que la courbe de f s'éloigne de y=ax au voisinage de +infini

"L'analogie" entre les deux parties en rouge me parrait... infiniement lointaine :doh:
Et, pour moi, "étre une asymptote de f" ça dit plutôt le contraire de ce que tu écrit en vert.

En résumé, ta définition collerais assez bien pour être une "anti assymptote" :marteau:

[most]

"L'analogie" entre les deux parties en rouge me parrait... infiniement lointaine :doh:

l'analogie ne désigne pas pareille !

Et, pour moi, "étre une asymptote de f" ça dit plutôt le contraire de ce que tu écrit en vert.

En résumé, ta définition collerais assez bien pour être une "anti assymptote" :marteau:

j'ai pas dis ça !!
mais j'ai lié la limite infini de la différence avec l'éloignement ( bien entendu)dans la question que j'ai posé.
désolé, est ce que c'est clair maintenant..
merci

[Ben314]

Oui, c'est clair, (mais au début aussi, c'était clair).
Pour te réexpliquer différement, étant donné une fonction f définie pour x assez grand, une toute petite preuve montre que, si la courbe de f "se rapproche" d'une droite D lorsque x tend vers l'infini, alors cette droite est unique et c'est ça qui rend la notion d'assymptote interessante.
Par contre, en général, il y a une quantité monstrueuse de droites D (en fait presque toutes) telles que la courbe de f "s'éloigne" de D, donc la notion n'a pratiquement aucun intérêt !!!

[most]

Oui, c'est clair, (mais au début aussi, c'était clair).
Pour te réexpliquer différement, étant donné une fonction f définie pour x assez grand, une toute petite preuve montre que, si la courbe de f "se rapproche" d'une droite D lorsque x tend vers l'infini, alors cette droite est unique et c'est ça qui rend la notion d'assymptote interessante.
Par contre, en général, il y a une quantité monstrueuse de droites D (en fait presque toutes) telles que la courbe de f "s'éloigne" de D, donc la notion n'a pratiquement aucun intérêt !!!

merci encore
sachant pour x infini la limite f(x) est infinie .
pour étudier le comportement de la courbe de f au voisinage de l'infinie
pourquoi on suit l'enchaînement suivant :
on calcule d'abord la limite du rapport f(x)/x puis suivant le résultat on continue éventuellement avec lim f(x)-ax ...
au lieu d'une autre procédure par exemple: limite de f(x)/{x^2} ou autre expression je sais pas ?

[Ben314]

L'idée est assez simple :
On se pose la question de savoir s'il existe (ou pas) une assymptote, c'est à dire de savoir s'il existe (ou pas) DEUX réels a et b tels que [f(x)-(ax+b)] tende vers 0 lorsque x tend vers l'infini.
Sauf que de trouver les deux réels d'un coup, c'est chiant, donc on essaye de les trouver l'un aprés l'autre.

Le plus simple c'est pour b : SI ON CONNAIT a, alors pour trouver b, il suffit de dire que pour [f(x)-(ax+b)] tende vers 0, il faut évidement que [f(x)-ax] tende vers b.

Pour a, c'est un peu plus astucieux : Si [f(x)-(ax+b)] tend vers 0 alors en divisant par x (qui tend vers l'infini), ça continue à tendre vers 0.
Mais, comme b/x tend vers 0, cela signifie en fait que [(f(x)/x) - a] tend vers 0 et donc que f(x)/x tend vers a.

[most]

effectivement c'est du cours, bien entendu, merci de le rappeler .
en fait j'aimerai partager un point de vue d'un collègue :

On peut le faire, si on a déterminé que la lim de f(x) /x est infinie,
pour déterminer une éventuelle parabole asymptote...
J'ai l'impression que tu mélanges tout...
La direction asymptotique est la limite, si elle existe, de la direction
(OM) lorsque l'abscisse de M tend vers l'infini.
Si lim (f(x)/x) = 2, par exemple, on a une direction asymptotique (y=2x)
; on peut avoir une asymptote , avec f(x) = 2x+1/x par exemple, ou une
br.parabolique de direction y=2x, avec f(x) = 2x+rac(x) par exemple, ou
rien de tout ça avec f(x) = 2x+sin(x) par exemple.
Mais dans tous les exemples que je viens de citer, la limite de f(x)-ax
est infinie si a diff de 2, ce qui signifierait d'après ta conception
que toute branche infinie est une branche parabolique "tous azimuts",
sauf dans la direction de son asymptote si elle en a une...
*De toute façon, cette notion n'est actuellement pas au programme.*
Quand ça l'était, j'aimais bien dire la chose suivante aux élèves : vous
êtes à quai (fixe, donc, en O ou ailleurs, ce qui ne change rien), et
vous regardez un bateau partir sur la mer, qui a pour trajectoire la
courbe de f. Si votre regard tend à se fixer dans une direction donnée,
voilà la direction asymptotique, ce n'est pas suffisant pour qu'il y ait
une droite asymptote, mais c'est nécessaire. Avec quelque chose comme
f(x) = x sin(x), par exemple, on est obligé de balayer constamment un
angle de 90° pour suivre le bateau... pas de dir asymptotique.
J'arrête là mon discours d'ancien combattant, mais je n'ai pas pu ne pas
réagir.