Determiner toutes les applications f qui vérifient l'express

[Jibrilarto]

Bonjour, je me suis bloqué en face a cette exercice, on doit determinez toutes les applications f de R dans R tel que
Pour tout (x,y) €R^2: f (x)*f (y) - f (xy) = x+y
L'idée qui m'arrivait est de résoudre l'équation
Kx*ky-k (xy)=x+y tell que k est l'expression de x par f (x)
J'arrive a k^2-k=(x+y)/xy puis je ne sais pas comment faire, je cherche un astuce pour me débloquer, merci d'avance

[pascal16]

tu peux voir ce que ça donne pour (x,y)=(1;1)

[lyceen95]

Essaie aussi de voir ce qui se passe si x=0 et y=0 ; puis x=0 et y quelconque.
Petit à petit, tu vas obtenir plein d'informations sur cette fonction f.

Dans ce que tu as fait, pourquoi ce n'est pas bon ?
Tu pars du principe que f est une fonction d'un type bien précis : f(x)=kx
Tu élimines avant même de commencer les fonction comme f(x)=x² ou f(x)=sin(x) et énormément d'autres fonctions.

Peut-être qu'à l'arrivée, on va se rendre compte que ces fonctions ne conviennent pas. Mais tu n'as pas le droit de les éliminer d'entrée.

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Pour y = 1 , on a : f(x) f(1) - f(x) = x + 1 .

Tu pourras te poser la question sur la valeur de f(1) : pourra - t - elle être égale à 1 ?

[Jibrilarto]

Merci à votre aide j'ai arrivé a:
(1.1) ⇒ f (1)= -1 ou 2 (1+1)
(0.0)⇒ f (0)= 0 ou 1 (0+1)
(0.y) ⇒ f (y)= R ou 1+y
(1.y) ⇒ f (y)= (1+y)/-2 ou 1+y
La j'ai vu la 1+x qui se repete, alors je remplace dans l'expression par 1+x et sa donne bien x+y
Cependant je ne suis pas sure si c'est tout car dans l'expression on dit les applcations

[Jibrilarto]

Je ne peux pad modifier mes messages mais je voulais corriger que (0.y) nous donne y=0 ou f (y) =1+y

[pascal16]

(1.y) ⇒ f (y)= (1+y)/-2 ou 1+y

tu as donc que 2 applications possibles

il faut vérifier si l'équation fonctionnelle du départ est vérifiée pour tout couple (x,y) par l'une et/ou par l'autre