Déterminer reste d'une division euclidienne

[IBOURAHIMA]

" on divise un polynôme p(x) par x-1 le reste est 6
on divise un polynôme p(x) par x-2 le reste est 8
quel est le reste de la division euclidienne de p(x) avec (x-1)(x-2) "

Bonjour, mon professeur de math m'a donné cette exercice et a dit qu'il mettra quelque chose comme ça dans le prochain devoir, donc j'ai vraiment besoin d'aide avant samedi.
s'il vous plait!!!!

[mathelot]

Bonsoir,
commence à écrire l'égalité entre polynômes qui exprime la division du polynôme p par (x-1)(x-2).
On note Q son quotient et le R son reste.

[Black Jack]

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une arnaque là dessous.

Le reste de la division par (x-1)(x-2) ne peut pas être un nombre constant.

Exemple : soit P(x) = x³+x²-8x + 12

Le reste de la division de P(x)par (x-1) est 6, on a P(x) = (x²+2x-6)*(x-1) + 6
Le reste de la division de P(x)par (x-2) est 8, on a P(x) = (x²+3x-2)*(x-2) + 8

Mais si on divise P(x) par (x-1)(x-2), on arrive à P(x) = (x+4)(x-1)(x-2) + (2x+4)
Le reste (si on peut l'appeler ainsi) est ici 2x + 4 et donc pas une constante.

Me trompé-je ?

[catamat]

Bonjour

Et penser que le degré du reste est strictement inférieur à celui du diviseur...

[catamat]

Oui Blackjack le reste est un polynôme de degré 1...

Les hypothèses donnent un système qui fournit les coeff de ce reste.

[mathelot]

Oui Blackjack le reste est un polynôme de degré 1...

Les hypothèses donnent un système qui fournit les coeff de ce reste.

oui.

On divise le polynôme P par
Il existe deux polynômes Q et R tels que:


avec deg(R) < 2

Il existe donc deux réels a et b tels que


d'où

on a ensuite:

(*)

avec deg(a+b) < 1
l'égalité (*) est donc la division de P par (x-1)
a+b est le reste de la division de P par (x-1)
On en tire : a+b=6

De même:


(**) avec deg(2a+b)<1
l'égalité (**) est la division de P par (x-2)
2a+b est le reste de la division de P par (x-2)
d'où
2a+b=8

on a donc le système


d'où le calcul de a et b.
a=2 et b=4.

[catamat]

Oui Mathelot je trouvais pareil mais P(1)=6 et P(2)=8 se déduisent immédiatement des hypothèses...

on divise un polynôme p(x) par x-1 le reste est 6
on divise un polynôme p(x) par x-2 le reste est 8

p(x)=(x-1)q(x)+6 donc p(1)=6 idem pour p(2)

[mathelot]

Méthode proposée par la majorité

Le reste de la division de P par (x-1) est 6
Il existe un polynôme tel que

D'où

Le reste de la division de P par (x-2) est 8
Il existe un polynôme tel que

D'où

Divisons P par (x-1)(x-2)
Il existe deux polynômes Q et R tels que

le degré de R est strictement plus petit que 2
Il existe donc deux réels a et b tels que

d'où


Comme

Comme P(2)=8


d'où
d'où
puis

d'où
le reste R(x) est donc le polynôme