Déterminer un polynôme

[fifig10]

Bonjour,

J'aurais besoin qu'on vérifie mes résultats :

Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0.

Un polynôme de degré 3 est de la forme ax^3+bx²+cx+d.
Donc P(x+1)-P(x)=3ax²+x(3a+2b)+c+2=x²

Et par identification a=1/3, b=-1/2, et c=0 et d=0?

[Ericovitchi]

Presque, j'ai trouvé
a=1/3, b==-1/2, c=1/6, d=1

[MisterSabri]

Bonsoir,

Je viens de procéder également par identification et je trouve c=1/6.

En effet lorsque j'identifie le monôme de degré 0, je dois résoudre le système a+b+c=0

Concernant la valeur de d, on la détermine avec la condition initiale et on obtient d= 0

Voilà, en espérant vous avoir éclairé.

[fifig10]

Donc j'ai mal developpé et réduit P(x+1)-P(x)=3ax²+x(3a+2b)+c+2 ?

[MisterSabri]

Oui on doit trouver P(x+1)-P(x)=3ax²+x(3a+2b)+c+a+b?

[MisterSabri]

Attention on ne trouve pas d=1 comme Ericovitchi le dit mais on trouve avec la condition initiale d=0 !!

[CENTER]En effet : 1/3 - 1/2 + 1/6 + d = 0 d=0[/CENTER]

[fifig10]

Mais le d n'apparaît pas dans 3ax²+x(3a+2b)+c+a+b, c'est pour ça que d=0 ?

[MisterSabri]

[FONT=Comic Sans MS]Non non !!! Il faut utiliser le fait que P(1)=0 ! et vous trouver d=0[/FONT]

[Ericovitchi]

ha oui très juste, j'ai fait une erreur, effectivement d=0

[fifig10]

Re,

On me demande ensuite de démontrer que pour tout entier n 1, 1²+2²+...+n²=P(n+1)

J'ai calculé P(n+1) et je trouve ++

Je vois bien que l'expression ressemble à ce que j'ai fait précedemment mais, je ne vois pas comment démontrer.

Merci d'avance