[Algèbre] Déterminer paramètre d'un polynôme.

[Susuko]

Bonjour,

j'ai quelques soucis pour répondre à cet exercice :

a) Déterminer les paramètres a et b du polynôme suivant:

P (x) = x³ + (a + b +2) x² + (ab + 2a + 2b) x + 2ab

de telle façon que le reste de la division par ( x - 2) soit égal à 5, et que le reste de la division par (x + 1) soit égal à 5/4


J'ai commencé par résoudre par la méthode de Horner. Ce qui me fait :

(x - 2) (x² + (a+b+4)x + ab+4a+4b+8) = 0

et donc le reste est égal à :

4ab + 8a + 8b +16 = 5



et

(x+1) (x² + (a+b+1)x + (ab-a-b-1)) = 0

le reste:

ab+ a + b +1 = 5/4

Ce qui me fait un système d'équation:

ab+a+b+1 =5/4
4ab+8a+8b+16=15

A partir de là je suis bloquée :O

Quelqu'un peut m'aider ? ^^ Je suis censée le rendre demain :/ (en précisant que j'ai reçu l'exercice hier)

[low geek]

Hello! La méthode de horner consiste en quoi ? (je ne sais pas du tout ce que c'est)

Moi je ferait:


(1)Le reste de la division de P(x) par x-2 est égale à 5 ==> avec un polynome du second degrès (Division euclidienne quoi)
(2)Le reste de la division de P(x) par x+1 est égale à 5/4. ==> avec Q(x) un pokynome du second degrès (Division euclidienne again)

on en déduit que:

(1)
(2)
on en déduit de (1) que 2 est racine de P(x)-5 et de (2) que -1 est racine de

en d'autres termes:


tu applique cela et tu aura un système de 2 équations a 2 inconnus a résoudres

tu devrait tombé au bout d'un moment:

[Susuko]

La méthode d'Horner, c'est la division euclidienne en fait. C'est juste qu'on prends seulement les coefficients ça se présente sous cette forme:



Mais sinon je ne vois pas comment tu es passé de :




à



Et puis je ne sais pas comment résoudre le système, le 'ab' me dérange. :O C'est plus ça mon problème en réalité. ^^

[low geek]

Ok, merci ça va plus vite en effet pour certains exos^^

Ba j'ai laissé exprès pour pas te donné la réponse directe (c'est pas possible de passé direct t'inquiète)

pour éliminer les ab sur un étage (je prend ce que tu as trouvé) tu multiplie la première ligne par 8 et tu soustrait la première a la 2éme (ou l'inverse) ;)

[Susuko]

Merci pour ton aide ! =) Je pense pouvoir me débrouiller maintenant... Mais j'aurai encore quelque chose à demander :p

J'ai un autre énoncé qui dit ceci:

“ En exploitant ces seuls données (sans effectuer la division) déterminer quel sera le reste de la division de P(x) par (x-2)(x+1)”

Le P(x) est le même que celui que j'ai donné plus haut. J'ai déniché quelque part sur le net que : d° r(x) Second Degré

Donc pour moi le reste est du premier degré...Ca à l'air tellement simple que c'est louche :p Je voulais juste avoir une confirmation ^^

[low geek]

Oui, si d(x) est de degrés 2, ton reste sera de degrés un (ax+b maximum ) ;)

[Susuko]

Merci ! :)