Déterminer un ensemble de complexe vérifiant un argument

[rdt]

Bon dimanche,

Je ne parviens pas à trouver l'ensemble de nombres complexes vérifiant :
arg(z -3 -2i) = (pi/4) + 2kpi (k entier relatif).

En posant :
z = x + iy
et (cos(pi/4) + isin(pi/4))((x-3)^2) + (y-2)^2)^(1/2) = x -3 + i(y-2)
puis en substituant les valeurs des fonctions trigonométriques, et en élevant ensuite au carré les deux membres de l'équation, je n'obtiens rien qui ne me sois compréhensible.

Merci d'avance pour l'éclaircissement.

[pascal16]

arg(z -3 -2i) = (pi/4) + 2kpi (k entier relatif).

si on raisonne en géométrie :
soit A(3;2) et a=3-2i M un point d'affixe z

arg(z -a) = (pi/4) + 2kpi
=>
M est sur la droite passant par A et formant un angle de pi/4 avec Ox
réciproquement, l’orientation de l'angle nous laisse qu'une demi-droite issue de A privée de A


Version algébrique
arg(z -3 -2i) = (pi/4) + 2kpi
posons z=a+ib
arg(a+ib -3 -2i) = (pi/4) + 2kpi
arg(a-3 +i(b -2)) = (pi/4) + 2kpi
si l'argument d'un complexe vaut pi/4
-> sa partie réelle est égale à sa partie imaginaire, et sont toutes le deux strictement positives
(dans le cas général, on a une proportionnalité avec cos(O)+isin(O) )

a-3=b-2 et (a-3)>0 et (b-2)>0
soit b=a-1 et a>3 et b>2
soit b=a-1 et a>3
on retrouve une demi droite y=x-1 avec x>3

[rdt]

Merci pascal16.