Déterminer le 3 ème point d'un triangle rectangle isocèle

[NV374]

Bonjour à vous,
Je suis en seconde et j'ai un exercice de math à pour mardi 12 mai sur les vecteurs.
Dans un repère orthonormé ("O";"i" ⃗;"j" ⃗), on donne les points P(1 ; 3) et R(−2 ; 4).
Déterminer les coordonnées possibles du point M tel que le triangle PRM soit rectangle et isocèle en P.
Pourriez vous m'aider à trouver les coordonnées du point M?

Je connais:

La valeur de chaque angle P=90° et R=M=45°.
La longueur PR=PM=racine carré de 10 et MR=racine carrée de 10/tan(45)
Le vecteur PR=(-3;1).

Merci pour votre aide.

[annick]

Bonjour,

Si M a pour coordonnées (x;y), peux-tu exprimer les coordonnées du vecteur PM .

Comme tu sais que PR=PM, tu peux établir une première équation en fonction de x et y.

Si tu as vu le produit scalaire, que sais-tu de celui-ci lorsque les vecteurs sont perpendiculaires ?

Tu obtiens ainsi une deuxième équation.

Tu as donc un système à résoudre, ce qui te permet de trouver les solutions cherchées.

Si tu n'as pas vu le produit scalaire, tu peux aussi passer par le théorème de Pythagore, ce qui te donnera aussi une équation en x et y.

[NV374]

Tout d'abord merci pour vos explications.

Je pense avoir trouvé l'équation à propos des vecteurs perpendiculaires.
vecMP.vecRP=0 car ils sont perpendiculaires vecMP=(1-xM;3-yM) et vecRP=(3;-1)
(1-xM)x3+(3-yM)x(-1)=0
(3-3xM)+(-3+3yM)=0
-3xM+yM=0
Cependant je n'arrive pas à trouver la première equation.

[annick]

Tu sais que le vecteur PR a pour coordonnées (-3;1) et le vecteur PM((x+1);(y-3))

Et que PM=PR soit PM²=PR²

Donc :

PR²=-3²+1²=10
PM²=(x+1)²+(y-3)²=x²+2x+1+y²-6y+9=x²+2x+y²-6y+10=10

D'où :

(1) x²+2x+y²-6y=0
(2)-3x+y=0

Il suffit maintenant que tu résolves ce système. Tu devrais trouver 2 solutions dont tu pourras vérifier la justesse sur ta figure.

[lyceen95]

Il y a la partie équations, et Annick a donné toutes les informations nécessaires.
Mais j'ai juste une question / un indice.

Quand tu as lu l'énoncé, avant de commencer les calculs, est-ce que tu savais déjà dire : il y a xxxx points qui conviennent et ces points sont disposés en gros à tel endroit (par exemple : ces points forment une droite, ou bien ces points forment un cercle, ou bien il y a un seul point qui convient ).

[NV374]

Tu sais que le vecteur PR a pour coordonnées (-3;1) et le vecteur PM((x+1);(y-3))

Et que PM=PR soit PM²=PR²

Donc :

PR²=-3²+1²=10
PM²=(x+1)²+(y-3)²=x²+2x+1+y²-6y+9=x²+2x+y²-6y+10=10

D'où :

(1) x²+2x+y²-6y=0
(2)-3x+y=0

Il suffit maintenant que tu résolves ce système. Tu devrais trouver 2 solutions dont tu pourras vérifier la justesse sur ta figure.

Merci annick pour votre aide j' ai trouve pour le point M (1.6;4.8) mais lorsque je fais un graphique pour vérifier les résultats (2;6) et j'ai aussi trouvé pour le point M (0;0).
J'ai aussi une question. Pourquoi avez-vous mis PR et PM au carré ?

[NV374]

Il y a la partie équations, et Annick a donné toutes les informations nécessaires.
Mais j'ai juste une question / un indice.

Quand tu as lu l'énoncé, avant de commencer les calculs, est-ce que tu savais déjà dire : il y a xxxx points qui conviennent et ces points sont disposés en gros à tel endroit (par exemple : ces points forment une droite, ou bien ces points forment un cercle, ou bien il y a un seul point qui convient ).

Oui j'avais fait un graphique et je savais que le point M pouvait être à deux endroits possibles M (0;0) et M (2;6).

[annick]

J'ai mis au carré car c'est plus agréable que d'avoir des racines carrées et comme si deux nombres sont égaux, leurs carrées sont aussi égaux, alors pourquoi se priver d'utiliser des expressions plus simples. D'accord ?

Sinon, j'ai l'impression que j'ai fait une petite erreur sur les coordonnées de PM : ce doit être
(x-1;y-3) et non (x+1;y-3) comme je l'avais écrit.

[NV374]

Ok ça marche.

Merci beaucoup pour votre aide.

[annick]

Cette erreur (que tu aurais dû apercevoir) conduit donc au système :

y=3x

et

PM²=(x-1)²+(y-3)²=x²-2x+1+y²-6y+9=x²+y²-2x-6y+10=10

d'où :

x²+y²-2x-6y=0
Soit, avec la première équation en remplaçant y par 3x :

x²+9x²-2x-18x=0
10x²-20x=0
x²-2x=0
x(x-2)=0

Donc :

x=0 y=0
x=2 y=6

Désolée pour l'erreur.

[NV374]

J'avais aperçu l'erreur dans les coordonnées du vecteur mais j'avais oublié de modifier l équation , c'est pour cela que mon résultat final ne correspondait pas.

Un grand merci à vous d'avoir pris votre temps pour répondre à mes questions.

[annick]

C'était un plaisir de voir ça avec toi.
Bonne journée.