Détermine la position de M pour que la somme de l'aire

[yann06]

Bonjour
bonnes vacances !!

ABC est un triangle équilatéral de coté 4 cm I et L sont les pieds des médianes de ABC respectivement issues des sommets A et C du triangle
soit G le centre de gravité de ABC
soit M un point quelconque de [AG] on pose x = AM
on construit le cercle C1 de centre M tangent à [AB] en H . on nomme R1 le rayon de ce cercle
soient E et F ses points d'intersection avec [AI] .
on construit le cercle C2 de diamètre [FI] on nomme r2 son rayon et k son centre

le but de cet exercice est de déterminer la position de M qui rend la somme des aires C1 et C2 minimale

a) exprimer le rapport AG / GL
b) calculer AI
c) à l'aide du théorème de Thalès , exprimer r1 en fonction de x
d) donner alors l'expression de l'aire de A1 de C1

a) exprimer le rapport AG etGL

on sait que le centre de gravité est situé aux deux tiers de ses médianes en partant du sommet
si le sommet est A , alors
je décompose AI
Ai = AG + GI




par contre , je ne suis pas sensé connaitre AI , puisque c'est l'objet de la question suivante

B)exprimer AI

je n'ai pas joindre de figure
je vais la décrire : AI est la médiane issue du sommet A
AI est perpendiculaire à [BC]
j'ai donc un triangle AIB rectangle en I
le plus grand coté est [AB]
en appliquant le théorème de Pythagore
soit

soit

soit

soit

soit

pouvez -vous m'aidez ? s'il vous plait

[chan79]

salut
Si tu considères le triangle ALG
sin 30°=1/2=LG/AG
de même dans AHM
1/2=r1/x

[yann06]

Bonjour chan 79

dans l'énoncé : on construit le cercle C de centre M et tangent à [AB] en H

j'ai tracé un cercle de centre M avec M sur [AG]
il faut que , en utilisant le théorème de Thalès , exprimer R1 en fonction de x et x = AM

[yann06]

Bonsoir
il faut exprimer EM puisque en fonction de AM
je ne sais pas situer le point H sur [AB] pour utiliser le théorème de Thales
quelqu'un pour m'aidez ??

[Pseuda]

Bonsoir,

Le cercle C1 de centre M est tangent à (AB) en H : ceci veut dire que le rayon [HM] du cercle est orthogonal à (AB), c'est-à-dire que H est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par M, avec (AB).

Ensuite, que peux-tu dire des droites (HM) et (LG) ? Tu n'as plus qu'à appliquer Thalès dans cette configuration.

[yann06]

Bonjour PSEUDA
merci de m'avoir aidé
Joyeux Noel !!


les droites (HM) et (LG ) sont parallèles
donc je peux utiliser le théorème de Thalès
en partant du sommet A

comme x = AM
je dois exprimer HM en fonction de AM

ce qui donne

[yann06]

bonjour
quand vous dites :
le rayon HM du cercle est orthogonal à (AB)

étant donné que nous sommes dans le plan et pas dans l'espace , il faut dire 'orthogonal ' ou perpendiculaire
en DS , j'aurais plutot dit ' le rayon HM du cercle perpendiculaire à (AB)

[Pseuda]

Bonsoir, et Joyeux Noël à toutes et à tous,

Exprimer r1=HM en fonction de x, c'est-à-dire qu'il faut écrire HM = .... une expression qui contient x. Ce n'est pas exactement ce que tu as fait, qui contient une erreur en plus.

Oui, c'est mieux de dire "perpendiculaire", s'agissant de 2 droites du plan.

[yann06]

Bonsoir

comme les droites LG et MH sont parallèles
en utilisant le théorème de Thalès


exprimer r1 en fonction de AM (qui vaut x) , il faut écrire

il faut que j'isole HM qui est au numérateur , mais je suis un peut embêté avec le passage de GL qui est dénominateur

bonne soirée de Noel !!

[laetidom]

Bonsoir,

Attention :

Si

Alors

(Multiplier de chaque côté du = par la même quantité ne change pas l'égalité)

[yann06]

bonsoir laetidom

exprimer r1 en fonction de x , c'est exprimer MH sous la forme d'une égalité avec
c'est a dire qu'il faut écrire HM = .. avec x une expression qui contienne
si
j'isole HM qui est au numérateur

ce qui donne

soit



c'est à dire

soit

soit

soit

[laetidom]

Bonjour,

Avec tes indications (j'ai pris l'exercice en cours) je trouve
Mais est-ce bien cela ?

[yann06]

Bonsoir laetidom



pour isoler MH je multiplie des 2 cotés par GL

ce qui donne

soit

comme on pose x = AM

soit

donc déjà arrivé , là est ce que ma méthode est bonne

[laetidom]

soit

donc déjà arrivé , là est ce que ma méthode est bonne ?

D'accord avec ce résultat !

Donc mes seraient faux et on devrait plutôt obtenir ? :

59.JPG (19.75 Kio) Vu 1039 fois

Est - ce cela ?

[Pseuda]

Bonsoir,

C'est le résultat trouvé par Chan (sans utiliser Thalès).

[yann06]

Bonsoir Latidom

merci beaucoup pour (votre/ton) aide !!

arrivé à

puis j'ai vu que vous avez écrit

en fait je ne comprends pas le passage de la première équation à la deuxième équation

Pouvez vous m'expliquez ? s'il vous plait

[laetidom]

Bonsoir,

C'est le résultat trouvé par Chan (sans utiliser Thalès).

Merci Pseuda pour cette confirmation collégiale avec Chan !

[laetidom]

Bonsoir Latidom

merci beaucoup pour (votre/ton) aide !!

arrivé à

puis j'ai vu que vous avez écrit

en fait je ne comprends pas le passage de la première équation à la deuxième équation

Pouvez vous m'expliquez ? s'il vous plait

Salut Yann,

En fait, , tout ça c'est pareil puisqu'il y a un signe multiplié entre les termes !

ex :

[yann06]

Bonjour

c) en utilisant le théorème de Thalés , exprimer r1 en fonction de x
d) donner , alors l'expression de A1 de C1 en fonction de x
étude de C2
a) exprimer r2 en fonction de x
b) donner l'expression de l'aire A2 de C2 en fonction de x
3- on pose A(x) = A(1) + A(2)
dresser le tableau de variation

j'ai écrit que l'aire d'un cercle est égale à , c'est à dire que c'est égale à
j'ai écrit
soit
ensuite il faut exprimer le rayon KI et le comparer avec AM


pour trouver r2(=KI) , il faut considérer le segment [AI] et examiner les différents segments dont il se compose

dans l'énoncé , on nous dit que E et F sont les 2 points d'intersection du cercle C1 avec [AI]
donc EM et MF sont aussi 2 rayons du cercle et HM = MF = r1
comme alors et
donc le diamètre du premier cercle est égale à AM

je peux dire que

maintenant ,il faut que je trouve FG ??

[Ben314]

Salut,
Que veut tu faire avec la longueur FG ?