Détermine le lieu des points M

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yodabosten
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Détermine le lieu des points M

par yodabosten » 08 Mai 2022, 19:35

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé OXY, on trace les deux droites y = ax et y = -ax.
- Détermine le lieu des points M du plan tels que leurs projections orthogonales P et Q sur ces deux droites ont des abscisses à produit constant: x1 * x2 = K.
- Détermine la nature du lieu d'après les valeurs de a et K.
- Dessine le lieu pour a = 1, K = 1

J'ai donné au point P les coordonnées (x1 ; ax1) et au point Q les coordonnées (x2 ; -ax2)
Grâce à mon dessin, je vois que cela devient une hyperbole. Je pense que je dois établir un système d'équations, quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci beaucoup!



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Sa Majesté
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Re: Détermine le lieu des points M

par Sa Majesté » 08 Mai 2022, 20:07

Tu peux prendre un point M quelconque de coordonnées (xM,yM).
Puis déterminer l'abscisse de P et de Q en fonction de xM et yM.

Black Jack
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Re: Détermine le lieu des points M

par Black Jack » 09 Mai 2022, 09:19

Bonjour,

Approche géométrique (parmi plein d'autres possibles) pour calculer x1 à partir des coordonnées de M(X;Y)

Image

Les triangles AOB et CBM sont semblables (de même forme dit-on aujourd'hui) car ...

Et donc AO/BC = AB/MC

x1/(a.x1-Y) = a.x1/(X-x1)

qui donne immédiatement : x1 = (X+aY)/(a²+1)
*****
Technique similaire pour calculer x2 ...

Et puis x1*x2 = K

...

8-)

Pisigma
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Re: Détermine le lieu des points M

par Pisigma » 09 Mai 2022, 11:04

Bonjour,

comme disait Black Jack, il a d'autres pistes; si tu connais, tu peux utiliser le produit scalaire

yodabosten
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Re: Détermine le lieu des points M

par yodabosten » 09 Mai 2022, 21:21

Merci beaucoup pour les approches.

Mon approche peut-il aussi fonctionner ?

Je veux déterminer M en résolvant un système de MP et MQ, car il s'agit de l'intersection des droites qui passent par Q et P.

Pisigma
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Re: Détermine le lieu des points M

par Pisigma » 09 Mai 2022, 21:37

tu n'aimes pas les méthodes proposées :D

ton approche est personnelle ou imposée?

yodabosten
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Re: Détermine le lieu des points M

par yodabosten » 09 Mai 2022, 23:31

Ce sont toutes des applications de la méthode analytique de traduction. Il y a un certain degré d'attente dans la manière de résoudre un exercice. Dans ces exercices, il y a bien sûr toujours plusieurs approches intéressantes.

Pisigma
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Re: Détermine le lieu des points M

par Pisigma » 09 Mai 2022, 23:39

yodabosten a écrit:Merci beaucoup pour les approches.

Mon approche peut-il aussi fonctionner ?


oui

Black Jack
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Re: Détermine le lieu des points M

par Black Jack » 10 Mai 2022, 10:22

Bonjour,

Méthode analytique :

Sur mon dessin : B est sur la perpendiculaire à la droite d'équation y = ax passant par M

On écrit l'équation de cette droite (MB) : y = (-1/a).x + Y + X/a

On résout le système (qui donne les coordonnées de B) :

y = (-1/a).x + Y + X/a
y = ax

(-1/a).x + Y + X/a = ax

x(a + 1/a) = Y + X/a
x(a²+1) = X + aY

x = (X + aY)/(a²+1)

Et donc x1 = (X + aY)/(a²+1)

8-)

Pisigma
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Re: Détermine le lieu des points M

par Pisigma » 10 Mai 2022, 13:41

puisque Black Jack donne ses réponses, moi aussi!

soit un vecteur directeur de



en utilisant les propriétés du produit scalaire







Black Jack
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Re: Détermine le lieu des points M

par Black Jack » 10 Mai 2022, 16:11

C'est très bien,

yodabosten a maintenant 3 méthodes différentes données en exemple ...

Il lui reste a les comprendre et utiliser celle qu'il veut pour trouver x2 ... et poursuivre.

8-)

yodabosten
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Re: Détermine le lieu des points M

par yodabosten » 10 Mai 2022, 19:03

Merci beaucoup :D

pour x2 j'ai trouvé (X-aY)/(a^2+1)

où x1 * x2 = K donc
(X + aY)/(a²+1) * (X-aY)/(a^2+1) = K

--> X^2 - a^2Y^2 = K * (a^2+1)^2
X^2/K*(a^2+1)^2 - a^2Y^2/K*(a^2+1)^2 = 1

Si a=K=1 --> X^2/4 - Y^2 /4 = 1

Est-ce que quelqu'un peut m'aider encore à trouver la nature des lieux en fonction des valeurs de a et K ?

yodabosten
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Re: Détermine le lieu des points M

par yodabosten » 11 Mai 2022, 11:33

C'est bon, je l'ai. Merci!!!

Si K > 0 l'hyperbole est sur l'axe des x et si K < 0 elle est sur l'axe des y.

 

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