Voici un exercice sur lequel je galère un peu. . .
a et b sont deux entiers srictemetn positifs et g est leur PGCD; p,q,r,s sont des entiers strictement positifs tels que ps-qr=1
on pose A=pa+qb et B=ra+sb
1) La réponse ici n'est pas connue. Pour deviner ce que peut etre le PGCD de A et B, on peut se donner des valeurs numériques. Mais auparavant apres examen attentif de l'énoncé une remarque s'impose: g est un diviseur de A et B donc g
des la première question je bloque, je ne vois pas du tout comment je peux démontrer ça!
2)On se donne des valeurs numériques en choisissant d'abord des nombres p,q,r,s convenables .on choisit par exemple A=8a+11b et B=5a +7s, puis on choisit des valeurs de a et b
Vérifiez que a chaque fois on trouve g'=g
3)On tente de démonter que g'=g.
d'apreès la question 1) il suffit de démontrer que g'< g.En arithmétique, on obtient une telle égalité si l'on démontre que g' divise g. Pour l'instant on sit seulement que g' divise A et B et A=pa+qb , B=ra+rb. Mais pour démontrer que g' divise g, il suffit de démontrer que g' divise a et b.
Justifiez cette affirmation
4)on sait que g' divise A= pa+pb et B=ra+sb peut on déduire que g' divise a et b ?
Prouvez alors qu'il existe des entiers m et n , m' et n' tels que a=mA+nB et b=m'A+n'B, puis concluez
j'aimerai que vous me donniez quelques pistes car je suis completement perdue et je ne vois pas trop comment prendre cet exercice!
merci beaucoup
