Détermination de la courbe orthoptique

[liltiss]

Bonsoir tout le monde.

Voila j'ai un DM a faire qui est divisé en 4 parties mais qui dépendent plus ou moins des autres. Cette partie se nomme la détermination de la courbe orthoptique et j'aurais énormément besoin de votre aide.

Voici l'énoncé: On considère une parabole L qui représente la fonction f(x)= x² ou x appartient à IR. Il existe deux tangentes notées Ta et Tan pour la parabole L.
1. Démontrer qu'une équation de Ta est y= 2a-a²
>>J'ai cherché en premier lieu l'abscisse xa en lequel Ta est tangent à L sachant qu'avant j'avais trouvé le nombre dérivé qui est : f'(a)= 2a ou f'(x)=2x. Donc en faisant:
f'(x)=2a
>2x- 2a
>x= 2a/2
>xa=a/1.
Ensuite j'ai utilisé :Ta: y=(x-xo)f'(xo)+f(xo)en remplaçant xo par a/1 pour trouver l'équation de la tangente Ta ce qui m'a donné après calcul Ta:y= 2ax-a²

2.Montrer qu'une équation de Tan est y= -x/2a - 1/16a².
>>Et là je bloque complètement:(

3. On note Ia le point d'intersection de Ta et Tan. Montrer que les coordonnées de Ia sont: (4a²-1/8a ; -1/4)
En déduire que Ia décrit une droite [delta] dont on déterminera une équation.
>>Je présume qu'il faudra faire: l'équation de Ta soit 2ax-a²= -x/2a-1/16a² et trouver x puis ensuite grace a :y= ax+b trouver y en remplaçant x par la valeur trouvée mais je n'ai pas montrer que l'équation de Ta est y= -x/2a - 16a².

Cas de la parabole P et changement de repère

4. Démontrer que f(x)= (x-1/2)²-5/4. Je dois vous dire que dans ma première partie il fallait étudier f(x) = x²-x-1 avec la parabole P d'équation : y= x²-x-1.
>>J'ai bien trouvé l'égalité, donc c'est bon.
Mais ensuite : quelles sont les coordonnées du sommet S de la parabole P ?
>>Je n'y arrive pas du tout.

5(enfin!) On pose le changement de variables suivant:
{X= x-1/2
{Y= y+5/4
Montrer que y= x²-x-1 <=> Y= X².
>>J'ai fais un calcul invraisemblable en posant d'abord: x=X+1/2 puis j'ai remplacé x par cette équivalence dans l'expression de y= x²-x-1
<=>(X+1/2)²-(X+1/2)-1
<=> (4X²+1/4+4X)- 4X-2 -4 (après résolution au meme dénominateur> 4)
et au final j'ai trouvé X²= 5/4 .
Est-ce-que c'est logique?
Merci beaucoup.

[Guillaume_aero]

Je suppose que la question 1) est "Démontrer qu'une équation de Ta est
" ... si tu oublies un "x" c'est moins facile !

Ta réponse à 1) est bonne au finale mais pas assez générale pour te permettre de trouver 2) dans la foulée.


Il faut que tu trouves la fonction y = g(x) de la tangente à L en une abcisse x0. Tu connais beaucoup de chose :

- la tangente est une droite donc g(x) = e x + f (je n'utilise pas la notation a x + b pour ne pas t'embrouiller avec les "a" !)

- tu connais la pente de cette droite : c'est la dérivée de f(x) en x0

- la tangente passe par le point (x0 , f(x0))

... avec cela tu trouves g(x).

Une fois que tu l'as tu résoud facilement 1) et 2) en vérifiant que Ta et Tan ont la bonne fonction pour des valeurs particulières de x0 ...

[Huppasacee]

Bonjour

je pense que tu as omis le fait que Ta et Tan sont perpendiculaires, non ?

si en un point d'abscisse a , la tangente est Ta, en quel autre point de la courbe, la tangente est elle perpendiculaire à Ta , et quelle est son équation ?
Ce sera Tan ( n comme normale )

car en voyant les 2 coefficients directeurs , c'est ce qui me vient à l'esprit !
( si deux droites sont perpendiculaires , le produit de leurs coefficients directeurs est (-1) )

Pour la 5 , c'est bien ce qui est demandé
partir de l'équation de la parabole proposée et arriver à Y = X² par un changement de variables.

Pour déterminer le sommet de la parabole :
ici la courbe est décroissante pour ..... puis croissante pour ....
elle admet donc un minimum pour x = ... ( abscisse du sommet ), et ce minimum est de : ... ( ordonnée du sommet )