DM Dérivés 1ere S

[debress]

Bonjour a tous et bonne année.

J'ai un petit problème sur un DM :

On veut fabriquer une boite (sans couvercle) à partir d'un triangle équilatéral de 60 cm de côté que l'on découpe suivant la figure ci-dessous (cf image)

1°) Dans quel intervalle I le nombre x peut-il varier ?

2°) Etablir que V(x)=x^3-60x^2+900x (on calculera la hauteur de la boîte obtenue par découpe et l'aire de sa base en fonction de x). (Rappel : tan30°=(racine de 3)/3)

3°) Déterminer x pour que le volume V(x) de la boîte soit maximal. Calculer ce volume maximum.



Au bout de plusieurs heures j'ai que quelques pistes pour ces questions mais cela ne me mène a rien :
Question 1 : je pense qu'il faut se servir de tan30°
Question 2 : il faut surement dérivé V(x) mais que faire ensuite ...

Voici l'image :



Merci d'avance pour l'aide.
Debress

[Anonyme]

Ton problème est intéressant mais je ne suis pas sûr de bien comprendre la notion de "volume"....

Si je me fie à ton dessin je suppose que l'on plie suivant les pointillés (la base est un triangle donc, puis on rabat les cotés pour faire la boite ? Ce qui veut dire qu'à chaque fois on découpe trois petits trigles (au bouts) que l'on jette ?

Bon je suppose que c'est ça.

1) x varie sur I=[0;30]

2) Le volume de la boite est égal à la base (l'aire du triangle en pointillés x la hauteur.

L'aire du triangle se calcule selon la formule 1/2*Base*Hauteur
On note la Base B et la hauteur relative H.

B = 60 - 2x ce qui est facile.

Pour H c'est plus compliqué. On note y1 la longeur de l'hypothénuse du triangle en haut à droite (dont un coté est x) et y la troisième longueur.

En applicant le théorème de Pythagore on a : y1 = racinecarrée(x^2 + y^2).
Or tan(30)=y/x=racine(3)/3 donc y= racine(3)/3 *x

donc finalement y1 = 2/racine(3) *x.

On s'apercoit aussi que tan30=30/(H + y + y1) La longueur y se reporte en bas tu vois ?

donc H + y1 + y = 30/tan(30) = 90/racine(3)


Au final V(x) = 1/2 * B *H *y
V(x) = 1/2 (60 -2x)* (30 -x)*racine(3) *y

.... or y=racine(3)/3 *x ....

V(x)=x^3 - 60x^2 +900x

3) Oui on utilise la dérivée pouyr déterminer les extréma d'une fonction

V'(x)=3x^2 -120x +900
equation du second degré dont le déterminant est 3600 ---> 2 solutions réelles

x1=10 et x2=30 V est minimum en x2 et max en x1. La solution cherchée est 10.

A bientôt !