DM dérivées/signes

[colro51]

Bonjour à tous.

Voilà, j'ai un DM pour mercredi prochain et je bloque un peu.

L'exercice 2 se compose d'une partie A et d'une partie B.
Dans la A (en résumé), j'ai dis g(x)=x^3-3x-3 était décroissante sur [-1;1] et croissante sur ]-l'inf;-1[U]1;+l'inf[, que g(x)=0 admet qu'une solution et que cette solution notée a telle que 2.1Et j'en ai conclu que pour tout x>a, g était positive.

Dans la partie B :

f(x)=(2x^3+3)/(x²-1) sur ]1;+l'inf[.

1)a) Démontrer que le signe de f'(x) est le même que le signe de g(x) sur ]1;+l'inf[.
ET C'EST LA QUE JE BLOQUE.

J'ai trouvé f'(x)=(4x^4-6x²-6x)/(x²-1)².

J'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.

[L.A.]

Bonjour.

Revois le calcul de la dérivée de f.

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f'(x)=(2x^4-6x²-6x)/(x²-1)² ?

Désolé, faute de frappe.

[L.A.]

Bien.

maintenant, quel est le lien entre f' et g ?

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Euh une multiplication par 3 ou un truc du genre.

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Apparement, je dirais qu'on multiplie par 2x et qu'on divise par (x²-1)² pour obtenir f'(x) mais bon... :p

[L.A.]

Ouais, "un truc comme ça".

(2x^4-6x^2-6x) ressemble un peu (et même beaucoup) à g(x).
Du coup, f'(x) ressemble un peu (mais un peu moins) à g(x) lui aussi.
la question est : est-ce que cette ressemblance est suffisante pour récupérer le lien qu'on attend entre les signes de f' et de g ?

en effet f'(x) = 2xg(x)/(x²-1)² ...

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Ouais, "un truc comme ça".

(2x^4-6x^2-6x) ressemble un peu (et même beaucoup) à g(x).
Du coup, f'(x) ressemble un peu (mais un peu moins) à g(x) lui aussi.
la question est : est-ce que cette ressemblance est suffisante pour récupérer le lien qu'on attend entre les signes de f' et de g ?

en effet f'(x) = 2xg(x)/(x²-1)² ...

Et il suffit d'en conclure que comme on multiplie par un nbr positif et divise par un carré => positif?

Mais du même signe que g signifie négative sur ]1;2.1], non? Comment prouver ça?

Quand on multiplie et divise un nombre, qu'il soit négatif ou positif, par un nombre positif strictement, on ne change pas son signe...C'est bien cela?

[L.A.]

Oui.

On est sur l'intervalle ]1,+inf[, sur lequel x est positif.
donc 2xg(x) est du signe de g(x).
De plus, (x²-1)² est toujours positif, donc f'(x) est du signe de g(x).

[colro51]

Ensuite :

b) En déduire le sens de variation de f sur ]1;+l'inf[.
Donc là, je dis, croissant ?
Ou décroissant sur ]1;a] et croissant sur [a;+l'inf[

Puis enfin,
c)En utilisant la définition de a, démontrer que f(a)=3a...Alors là...j'suis un peu coincé.

[L.A.]

b) il faut se dire :
sur tel intervalle, g est positive donc...
sur tel autre intervalle, g est négative donc...

c) Je ne vois pas non plus...
Je pense qu'il faut utiliser la seule chose que l'on sait sur a, càd g(a)=0, mais les calculs n'aboutissent pas à f(a)=3a.

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b) il faut se dire :
sur tel intervalle, g est positive donc...
sur tel autre intervalle, g est négative donc...

c) Je ne vois pas non plus...
Je pense qu'il faut utiliser la seule chose que l'on sait sur a, càd g(a)=0, mais les calculs n'aboutissent pas à f(a)=3a.

Donc pour b, c'est bon.
Si je dis que f' du même signe que g alors f décroissante sur ]1;a] et croissante sur [a;+'l'inf[. C'est pas ça ?

Tant pis, je verrai pour la c).

Merci pour tout en tout cas.

[L.A.]

Si je dis que f' du même signe que g alors f décroissante sur ]1;a] et croissante sur [a;+'l'inf[.

OK c'est tout bon.

[colro51]

OK c'est tout bon.

Merci pour tout

[colro51]

Lol, j'avais pensé à un truc, mais ça me paraît illogique.
Comme f'(x)=0 pour x=a, alors pour x=a, f n'est ni croissante ni décroissante et donc son coefficient directeur est nul. Mais ça ne marche que pour une droite...
Je suis perdu !