Dérivées infiniment nulles et variations

[Bastien L.]

Bonjour à toutes et à tous, et bonne année!

Je me posais la question suivante: «Une fonction infiniment dérivable dont toutes les dérivées sont nulles en un même point, est-elle nécessairement constante?».

Visiblement, la réponse est non: la fonction f définie sur R par f(x)=e^(-1/x^2) pour x non nul et f(0)=0 est infiniment dérivable, toutes ses dérivées sont nulles en 0, et pourtant elle n'est pas constante.

Suis-je le seul à être ou avoir été surpris que la réponse à cette question soit non?

Pourrait-on trouver un autre exemple, qui ne soit pas une fonction complétée par continuité?

D'avance, merci!

[Carpate]

A ce compte là, toutes les fonctions qui ont en un point une tangente parallèle à l'axe des abscisses seraient constantes !

[Sylviel]

Nope Carpate : on veut que toutes les dérivées soient nulles, pas seulement celle d'ordre 1.

Le résultat est effectivement "surprenant". En effet il faut aller chercher des fonctions qui ne sont pas développable en série entière (c'est même le résultat à avoir en tête pour se rappeler que C^\infty =/> Dev en série entière).

Je ne pense pas qu'il y ait de fonction qui s'écrivent "simplement" et qui te donne ce résultat.

[Bastien L.]

Merci pour vos réponses.

Le contre exemple est clair, mais je n'arrive pas à comprendre comment toutes les dérivées étant nulles en un point elles peuvent ne pas le rester définitivement! Ça me semble encore plus difficile à admettre que les solides de volume fini et de surface infinie!