Dérivées et fonctions composées

[Elda Saphira]

1) soit v une fonction dérivable sur ]-;) ; +;)[ par v(0) = 0 et v'(x) = 1 / (1+x^2)
a. déterminer une valeur approchée de v(0,5) et de v(1)
V(0,5) 0,5
v(1) 0,9

b.appliquer la méthode d'Euler sur un tableur pour construire une représentation graphique de la fonction v sur [0;1] en prenant un pas de 0,2 puis 0,1 puis 0,05.

c. donner alors une valeur approchée de v(1) => v(1) 0,79779
Comparer ce résultat à => v(1) /4

2) En utilisant le sens de variation de fonctions correctement choisies, démontrer que pour tout x de [0;+;)[, 0 v(x) x

3) Soit u la fonction tan sur ]-;)/2 ; /2[
a. Calculer pour tout x de ]-;)/2 ; /2[, la dérivée de v•u
b. Déterminer (v•u)(0)
c. Déduire des questions précédentes que pour tout x de ]-;)/2 ; /2[, on a (v•u)(x)=x
La fonction v est appelée fonction arctan et elle est la fonction réciproque de la fonction u.
d. Comment obtient-on la courbe représentative de la fonction v connaissant celle de u ? Vérifier

Bonjour,
Je suis bloquée à la question 2 :
Je ne vois pas comment on peut trouver les fonctions dont il faut étudier le sens de variation…
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait super.
D'avance merci !

[Ericovitchi]

Regarde la fonction x-v(x)
sa dérivée qui vaut 1-1/(1+x²)=x²/(1+x²) est toujours positive donc la fonction x-v(x) est croissante.
Pour x=0 elle vaut 0 donc elle est forcement positive pour x>0 et donc x-v(x)>0

[Elda Saphira]

Merci beaucoup ! :++: