Dérivées, différentielles et intégrales
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par paquito » 18 Mar 2014, 09:44
Le d ronde est normalement réservé aux dérivées partielles, donc pour les fonction de plusieurs variables.
Quand à la notation d/dx f(x) pour la dérivée de f, si tu veux écrire f'(0), d/dx f(0)=0 car tu appliquerais ton opérateur de dérivée première à une constante. Donc des notations qui posent quand même des problèmes et à utiliser avec modération.
Quand à la notation d/dx f(x) pour la dérivée de f, si tu veux écrire f'(0), d/dx f(0)=0 car tu appliquerais ton opérateur de dérivée première à une constante. Donc des notations qui posent quand même des problèmes et à utiliser avec modération.
par paquito » 18 Mar 2014, 17:30
Pour faire le tour de la question, un cours de mathématiques est une suite d'abus de langage; par exemple, si pour une fonction d'une seule variable (x par exemple) a t'on le droit décrire (x²-2x)'=2x-2?
La réponse est oui, même si x²-2x désigne une quantité numérique. En fait, si on était pointilleux, il faudrait écrire (x-> x²-2x)'=(x->2x-2), mais cela n'apporte qu'une lourdeur dans l'écriture, ce qui est stupide.
Si on ne prenait pas un peu de liberté avec les définitions mathématiques, -3 serait une classe d'équivalence dont les éléments seraient les couples de la formes (n+3; n) où n est un entier!
En fait on choisit un représentant privilégié (3; 0) que l'on finit par noter -3.
On définit Q par une classe d'équivalence et quand à la construction de R, je pense qu'elle ne figure même plus au programme de mathsup!
Moralité: si l'on adoptait pas des notations adéquates, une équation simple du 1° degré serait illisible!
Les physiciens, eux, prennent bien plus de liberté.
La réponse est oui, même si x²-2x désigne une quantité numérique. En fait, si on était pointilleux, il faudrait écrire (x-> x²-2x)'=(x->2x-2), mais cela n'apporte qu'une lourdeur dans l'écriture, ce qui est stupide.
Si on ne prenait pas un peu de liberté avec les définitions mathématiques, -3 serait une classe d'équivalence dont les éléments seraient les couples de la formes (n+3; n) où n est un entier!
En fait on choisit un représentant privilégié (3; 0) que l'on finit par noter -3.
On définit Q par une classe d'équivalence et quand à la construction de R, je pense qu'elle ne figure même plus au programme de mathsup!
Moralité: si l'on adoptait pas des notations adéquates, une équation simple du 1° degré serait illisible!
Les physiciens, eux, prennent bien plus de liberté.
par Anonyme » 18 Mar 2014, 17:51
paquito a écrit:Pour faire le tour de la question, un cours de mathématiques est une suite d'abus de langage; par exemple, si pour une fonction d'une seule variable (x par exemple) a t'on le droit décrire (x²-2x)'=2x-2?
La réponse est oui, même si x²-2x désigne une quantité numérique. En fait, si on était pointilleux, il faudrait écrire (x-> x²-2x)'=(x->2x-2), mais cela n'apporte qu'une lourdeur dans l'écriture, ce qui est stupide.
Si on ne prenait pas un peu de liberté avec les définitions mathématiques, -3 serait une classe d'équivalence dont les éléments seraient les couples de la formes (n+3; n) où n est un entier!
En fait on choisit un représentant privilégié (3; 0) que l'on finit par noter -3.
On définit Q par une classe d'équivalence et quand à la construction de R, je pense qu'elle ne figure même plus au programme de mathsup!
Moralité: si l'on adoptait pas des notations adéquates, une équation simple du 1° degré serait illisible!
Les physiciens, eux, prennent bien plus de liberté.
Et donc, est ce que les '' manipulations algébriques '' de quantités infinitesimales, pour la construction de dérivées est valable ? Car, il y un faussé entre simplifier une démonstration par abus de langage et donner une démonstration fausse (peut être des hypothèses justes et des conclusions justes mais des démarches et des raisonnements faux).
par paquito » 18 Mar 2014, 18:03
1/r a écrit:Et donc, est ce que les '' manipulations algébriques '' de quantités infinitesimales, pour la construction de dérivées est valable ? Car, il y un faussé entre simplifier une démonstration par abus de langage et donner une démonstration fausse (peut être des hypothèses justes et des conclusions justes mais des démarches et des raisonnements faux).
C'est vraiment un raisonnement de physicien! Du moment que ça marche....
par Anonyme » 24 Mar 2014, 13:07
Salut !
Après quelque recherche, je suis tombé sur un truc qui pourrait résoudre la question définitivement:
l'analyse non-standard ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard ). Est-ce que ces questions sont résolues dans ce cadre ?
Après quelque recherche, je suis tombé sur un truc qui pourrait résoudre la question définitivement:
l'analyse non-standard ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard ). Est-ce que ces questions sont résolues dans ce cadre ?
par Robic » 24 Mar 2014, 18:04
Je n'ai lu que le début. Je vois : « La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au xviie siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. » Et là je ne suis pas très d'accord. Enfin, si, je sais qu'autrefois on a utilisé des infiniment petits. Mais aujourd'hui on s'en passe (à part les physiciens qui manipulent des dx, des dW, des dQ...)
La notion de limite, par exemple, n'utilise que des nombres tout à fait normaux. Dire qu'une suite tend vers l'infini n'est en réalité qu'une façon de parler : on n'a pas besoin de manipuler l'objet appelé "infini", on dit juste que la suite peut être aussi grande qu'on veut. Pareil quand elle tend vers 0 : la définition avec les epsilon (elle n'est plus enseignée au lycée, mais la définition enseignée au lycée en vient) ne fait intervenir que des nombres tout bêtes.
La notion de dérivée repose sur celle de suite, donc il n'y a pas, là non plus, d'infiniment grands et d'infiniment petits. Et ainsi de suite.
Quand on dit qu'il y a une infinité de nombres réels, ça veut juste dire que quel que soit le sous-ensemble qu'on a extrait, aussi grand soit-il (mais fini), il manque des éléments (je ne parle pas de la théorie de Cantor, je reste au niveau de l'analyse faite au lycée).
Bref, dans toute l'analyse telle qu'on la pratique au lycée, on ne manipule ni d'infiniment grands, ni d'infiniment petits.
La notion de limite, par exemple, n'utilise que des nombres tout à fait normaux. Dire qu'une suite tend vers l'infini n'est en réalité qu'une façon de parler : on n'a pas besoin de manipuler l'objet appelé "infini", on dit juste que la suite peut être aussi grande qu'on veut. Pareil quand elle tend vers 0 : la définition avec les epsilon (elle n'est plus enseignée au lycée, mais la définition enseignée au lycée en vient) ne fait intervenir que des nombres tout bêtes.
La notion de dérivée repose sur celle de suite, donc il n'y a pas, là non plus, d'infiniment grands et d'infiniment petits. Et ainsi de suite.
Quand on dit qu'il y a une infinité de nombres réels, ça veut juste dire que quel que soit le sous-ensemble qu'on a extrait, aussi grand soit-il (mais fini), il manque des éléments (je ne parle pas de la théorie de Cantor, je reste au niveau de l'analyse faite au lycée).
Bref, dans toute l'analyse telle qu'on la pratique au lycée, on ne manipule ni d'infiniment grands, ni d'infiniment petits.
par Anonyme » 24 Mar 2014, 19:36
J'ai vu qu'on avait tenté (et même réussi ?) à définir les infiniment petits et grands tels qu'utilises par les Euler et Leibniz en créant une extension du corps des réels ( http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_hyperr%C3%A9el ). Ce qui justifie sans doute leur utilisation en physique, non ?
par paquito » 24 Mar 2014, 20:40
D'une part le but du mathématicien est de minimiser le nombre d'axiomes nécessaire à l'élaboration de sa théorie, donc rajouter des axiomes pour tenter de définir un infiniment petit est une marche en arrière; de plus utiliser une "récurrence sur x réel" dépend de l'axiome du choix qui n'est pas admis par beaucoup de mathématiciens. Pour te donner un exemple, R est un Q-espace vectoriel, mais l'existence d'une base dépend de l'axiome du choix et personne n'a pu mettre en évidence une base( il faudrait prouver que tout réel s'écrive Sigma(qi* xi) ce qui n'est pas demain la veille. admettons que les nombres "non standard" permettent d'alléger l'écriture, mais ils n'apportent rien, sinon un système d'axiomes supplémentaires.
par Black Jack » 25 Mar 2014, 10:41
Je n'ai pas tout lu et donc peut-être que je vais redire des choses déjà présentées.
Les manipulations des "infiniments petits" faites depuis longtemps par les "physiciens" ont été depuis (début des années 1960) coulées dans une théorie mathématique rigoureuse qu'on appelle ANS (analyse non standard).
Même si beaucoup de matheux continuent à penser ce sont des maths de physiciens, ils ont tort puisque cela a maintenant été "rigorifié" par une théorie mathématique indiscutable.
On en dit quelques mots sur ce lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard
:zen:
Les manipulations des "infiniments petits" faites depuis longtemps par les "physiciens" ont été depuis (début des années 1960) coulées dans une théorie mathématique rigoureuse qu'on appelle ANS (analyse non standard).
Même si beaucoup de matheux continuent à penser ce sont des maths de physiciens, ils ont tort puisque cela a maintenant été "rigorifié" par une théorie mathématique indiscutable.
On en dit quelques mots sur ce lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard
:zen:
par Ben314 » 25 Mar 2014, 13:14
Sauf... en analyse non standard qui permet de justifier à peu prés tout les "bricolages à la physicienne"Robic a écrit:Je n'ai lu que le début. Je vois : « La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au xviie siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. » Et là je ne suis pas très d'accord. Enfin, si, je sais qu'autrefois on a utilisé des infiniment petits. Mais aujourd'hui on s'en passe (à part les physiciens qui manipulent des dx, des dW, des dQ...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 25 Mar 2014, 13:32
Salut,
Perso, ma façon de voir les chose, c'est que les physiciens ne manipulent au fond pas les mêmes objets que les matheux : Pour un physicien, un truc comme par exemple, "la température T", ben c'est une quantité "en soit", qui n'est
- ni vraiment une "fonction" mathématique : les paramètres dont dépend T, c'est à dire l'ensemble de départ de la fonction n'ont pas à être clairement fixés et "bloqués" une bonne fois pour toute
- ni franchement une variable "libre" qui servirais uniquement de paramètre pour d'autres quantités physique.
La façon dont je vois le truc, c'est plutôt qu'on a des tas de "quantités" qui sont liées par des relations, mais que pour le physicien, il ne faut pas forcément chercher à voir derrière ces relations certaines de ces quantités comme étant des fonctions des autres : ça lui semble (et je pense qu'il a raison) trop "restrictif" : il préfère que tout soit "libre".
En particulier, ça explique que ce ne sont pas vraiment dans leur habitude de noter des truc du style f(x) qui exprime explicitement qu'on voit la quantité f comme une fonction de x.
Par exemple, ça perturbe pas plus que de raison un physicien de passer d'un dy/dx à un dx/dy en disant que l'un est l'inverse de l'autre alors qu'en math, pour écrire la même chose, c'est tout un bordel vu qu'il faut plus ou moins considérer que y est une fonction (bijective) de x ou... le contraire...
Et quand on voit le bordel que c'est en math pour arriver à cette fameuse relation (dx/dy)=(dy/dx)^(-1), je me dit que leur méthodes de calculs, c'est pas si con que ça...
(et effectivement, une justification "carré carré" se trouve en grande parti donnée par l'analyse non standard de Robinson)
Perso, ma façon de voir les chose, c'est que les physiciens ne manipulent au fond pas les mêmes objets que les matheux : Pour un physicien, un truc comme par exemple, "la température T", ben c'est une quantité "en soit", qui n'est
- ni vraiment une "fonction" mathématique : les paramètres dont dépend T, c'est à dire l'ensemble de départ de la fonction n'ont pas à être clairement fixés et "bloqués" une bonne fois pour toute
- ni franchement une variable "libre" qui servirais uniquement de paramètre pour d'autres quantités physique.
La façon dont je vois le truc, c'est plutôt qu'on a des tas de "quantités" qui sont liées par des relations, mais que pour le physicien, il ne faut pas forcément chercher à voir derrière ces relations certaines de ces quantités comme étant des fonctions des autres : ça lui semble (et je pense qu'il a raison) trop "restrictif" : il préfère que tout soit "libre".
En particulier, ça explique que ce ne sont pas vraiment dans leur habitude de noter des truc du style f(x) qui exprime explicitement qu'on voit la quantité f comme une fonction de x.
Par exemple, ça perturbe pas plus que de raison un physicien de passer d'un dy/dx à un dx/dy en disant que l'un est l'inverse de l'autre alors qu'en math, pour écrire la même chose, c'est tout un bordel vu qu'il faut plus ou moins considérer que y est une fonction (bijective) de x ou... le contraire...
Et quand on voit le bordel que c'est en math pour arriver à cette fameuse relation (dx/dy)=(dy/dx)^(-1), je me dit que leur méthodes de calculs, c'est pas si con que ça...
(et effectivement, une justification "carré carré" se trouve en grande parti donnée par l'analyse non standard de Robinson)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par paquito » 25 Mar 2014, 13:49
Il faut déjà admettre l'axiome d'idéalisation qui me semble aussi discutable que l'axiome du choix et le fait de définir un entier> à tous les autres me semble pédagogiquement perturbant. Pour moi on part d'un artifice pour arriver à ce que l'on veut; On prend ou on ne prend pas.
par Ben314 » 25 Mar 2014, 14:05
paquito a écrit:Il faut déjà admettre l'axiome d'idéalisation qui me semble aussi discutable que l'axiome du choix et le fait de définir un entier> à tous les autres me semble pédagogiquement perturbant. Pour moi on part d'un artifice pour arriver à ce que l'on veut; On prend ou on ne prend pas.
En analyse non standard, tu n'est pas obligé de prendre l'axiome d'idéalisation comme "sorti d'un chapeau" : tu peut parfaitement construire des modèles non standards dans ZFC (avec axiome du choix vu qu'il te faut des idéaux maximaux dans la construction).
Mais c'est long est compliqué : à peu prés aussi long est compliqué que... de construire l'ensemble des réels R... donc si on veut aller "droit au but", ben on prend l'axiome "tel quel" : c'est pas plus stupide que de commencer à manipuler les réels au collège alors qu'on en voit (éventuellement) la construction de R en BAC+2 : on apprend à travailler avec alors qu'on ne sait pas ce que sont au fond les quantités qu'on manipule...
Aprés, dire qu'il y a "un entier> à tous les autres", c'est évidement totalement débile, et heureusement, ce n'est pas le cas.
Il y a simplement deux "catégories" d'entiers : les standards et les non standards. Tout non standard est plus grand que tout standard.
Ça peut sembler pas super intuitif, mais au fond, est-ce vraiment moins intuitif que l'axiome d'Archimède dans R qui affirme qu'on peut indéfiniment couper un truc en deux ? Perso., partant d'un morceau de gâteau, après avoir coupé une petite dizaine de fois "en deux" puis "en deux", etc, j'ai l'impression que je peut pas aller beaucoup plus loin dans les découpes...
De toute façon, le but n'est pas que ce soit "intuitif" ou "pas intuitif", c'est uniquement de montrer que l'on peut donner un fondement totalement rigoureux à la façon "physiciennes" de mener les calculs de dérivée.
Autant, j'ai trouvé le domaine (l'analyse non standard) très intéressante (principalement concernant la façon dont on construit les modèles non standards), autant je ne pense pas, contrairement à ce qui a été fait dans certains endroits, que ce soit astucieux d'enseigner l'analyse élémentaire par ce biais (on est rapidement confronté à des problème compliqué comme par exemple celui concernant la "nature" de la collection des entiers "standards" qui n'est pas vraiment un "ensemble" de la théorie : c'est une partie majorée des entiers sans plus grand élément...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par paquito » 25 Mar 2014, 15:26
Salut Ben,
Ca ne me gêne pas du tout d'envisager des entiers non standards comme quand on fait une extension de corps en ajoutant à R un nombre e non nul qui vérifie e²=0 (on trouve une interprétation matricielle en dimension 2). A partir du moment que cela clarifie les chose et donne un statut à la notation différentielle, ça me convient. Pour moi, c'est aussi sur le plan pédagogique que je trouve ça débile; sinon, personnellement, je n'ai jamais été gêné par la notation différentielle que je trouvais intuitivement justifié. En cours, lorsque l'on travaille sur les dérivées on dit bien que f'(x0) est atteint lorsque "h est juste avant 0", c'est un peu de l'anlyse non standard!
Ca ne me gêne pas du tout d'envisager des entiers non standards comme quand on fait une extension de corps en ajoutant à R un nombre e non nul qui vérifie e²=0 (on trouve une interprétation matricielle en dimension 2). A partir du moment que cela clarifie les chose et donne un statut à la notation différentielle, ça me convient. Pour moi, c'est aussi sur le plan pédagogique que je trouve ça débile; sinon, personnellement, je n'ai jamais été gêné par la notation différentielle que je trouvais intuitivement justifié. En cours, lorsque l'on travaille sur les dérivées on dit bien que f'(x0) est atteint lorsque "h est juste avant 0", c'est un peu de l'anlyse non standard!
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