Dérivée d’une fonction

[LauretteHasle]

J’ai un devoir maison de maths à faire et je bloque sur la première question :
On considère la fonction A défini sur I]1;+infini[ par:
A(x)=1/2((x^4)/(x-1)^2
Démontrer que pour tout réel x appartenant à I:
A’(x)=((x^3(x-2))/(x-1)^3

[Pisigma]

Bonjour,

La politesse n'est pas interdite, bonjour ou bonsoir, merci d'avance...

applique la formule de la dérivée d'un quotient

[LauretteHasle]

Bonjour,
Excusez moi pour le manque de politesse mais j’ai été beaucoup énervée par ce devoir que je n’arrive pas à faire, je me suis donc dépêcher de rédiger ce message sans vraiment réfléchir.
J’ai effectivement appliqué cette formule seulement je ne trouve pas la dérivée attendu j’ai pourtant fait il me semble ce qu’il fallait :
La fonction a dérivée est:
1/2((x^4)/(x-1)^2)
J’ai avant de dérivée développé en multipliant tout de suite par le 1/2 cela m’a donné : (x^4)/(2(x-1)^2)
Ensuite j’ai appliqué l’identité remarquable afin de développer le 2(x-1)^2 puis j’ai appliqué la formule (u/v)’=(u’v+uv’)/v^2
Avec u’=4x^3. u=x^2. v=2x^2-4x-2
v’=4x-4
Cela m’a donc donner : (4x^3(2x^2-4x-2)+x^4(4x-4))/(2x^2-4x-2)^2
J’ai donc développer puis réduit et j’ai trouver au final :
(8x^6-16x^3-8x^2)/(2x^2-4x-2)^2
Et je suis sencer trouver à la fin :
(x^3(x-2))/(x-1)^3
Ce n’est vraiment pas la même chose et je ne sais pas comment faire pour trouver le bon résultat .
Merci de votre retour .

[Lostounet]

Salut,

1/2((x^4)/(x-1)^2)
Est une fraction de la forme u(x)/v(x) avec u(x)=x^4
Et v(x)=2(x-1)^2 = 2 [x^2-2x+1] = 2x^2-4x+2

La formule nous dit que (u/v)' = (u'v -v'u)/v^2

On a d'une part u'(x)=4x^3
Et v'(x)= 4x-4

(u'v-v'u)/v^2
= (4x^3 *2(x-1)^2 -(4x-4)x^4)/[2(x-1)^2]^2

Ici il faut être un peu malin et factoriser le numérateur plutôt que tout développer en fait. C'est pour cela que je remplace v par son expression factorisée. Ensuite je prends x^3 en facteur au numérateur:
= (x^3 (8(x-1)^2-x(4x-4))/(4(x-1)^4

Je te laisse continuer en remarquant que 4x-4=4(x-1) et refactoriser le tout par (x-1) en haut.

[LauretteHasle]

Merci beaucoup pour votre réponse je vais étudier cela .
Bonne soirée