Dérivée TermS

par **Anonyme** » 02 Oct 2005, 19:03

Voila j'ai une fonction f(x)= (x³-3x²+10x-11) / (x-1)² , je dois déterminer ses limites et son tableau de variations. Donc je calcule sa dérivée qui est f(x)= (x^4 - 4x^3 - x^2 +16x -12 ) / (x-1)^4 mais a partir de la je suis bloquée pour les variations.
Pouvez vous m'aider??

par **Bertrand Hamant** » 02 Oct 2005, 19:11

bonsoir cécilia

f(x)= (x³-3x²+10x-11) / (x-1)²

Concernant les limites en + 00 et en -00 tu utilises la règle des termes de plus hauts degrés.

soit donc la limite de x^3 / x^2 = limite x

donc quand x ---> + 00 lim x = +00
quand x ---> - 00 lim x = - 00

ensuite tu fais pour 1 + et 1 -

par **Bertrand Hamant** » 02 Oct 2005, 19:21

(x^4 - 4x^3 - x^2 +16x -12 ) / ( x - 1 )^4

la première chose à faire quand tu as une équation c de voir s'il y a des racines évidentes ici tu remarque que si x =1 l'équation vaut 0

donc tu peux factoriser par ( x - 1 ) mais laisse moi vérifier si la dérivée est correcte je vais la calculer et je te dirai

par **Bertrand Hamant** » 02 Oct 2005, 19:40

ta dérivée est correcte en remarquant que x=1 tu peux factoriser

( x - 1 ) ( ax^3 + bx² + cx + d )

tu trouves par identification ( x - 1 ) ( x^3-3x²-4x+12 )

puis en procédant de la même méthode tu constate que pour x =2 l'équation vaut 0, donc ainsi de suite tu arrive à la forme factorisée de x^4 -4x^3 -x² +16 x 12 = ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) tu étudies le signe de c 4 produits et tu determines ainsi le sens de variation de ta fonction

Voilà.

par **Chimerade** » 02 Oct 2005, 19:51

Cécilia a écrit:Voila j'ai une fonction f(x)= (x³-3x²+10x-11) / (x-1)² , je dois déterminer ses limites et son tableau de variations. Donc je calcule sa dérivée qui est f(x)= (x^4 - 4x^3 - x^2 +16x -12 ) / (x-1)^4 mais a partir de la je suis bloquée pour les variations.
Pouvez vous m'aider??

C'est déjà pas facile de factoriser, alors, il vaut mieux éviter de perdre un facteur en route ! Je m'explique !

La dérivée de

est :

Si tu développes tout tu obtiens bien

(enfin, je suppose, je n'ai même pas vérifié, je te fais confiance)

mais en faisant cela tu "perds" le facteur (x-1) qui était évident au numérateur ! Au contraire, il faut garder ce facteur :

Tu sais résoudre les équations du second degré mais pas celle du troisième degré. Il faut donc trouver une astuce pour trouver une racine de ce polynôme du troisième degré. Alors, tu essaies des racines simples, par exemple 1 ---> 1^3-3*1²-4*1+12 ça ne fait pas 0 ! Bon essayons -1, 2, -2...
Tiens ! Pour 2 ça marche : 2^3-3*2²-4*2+12 = 0 ! Donc ton polynôme est divisible par (x-2)

Ce qui reste est du second degré : tu sais le faire !

Dérivée TermS

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