Dérivée logarithmique

par **SaintAmand** » 31 Juil 2012, 03:22

Mathématique divine a écrit:pourquoi ne peut-on pas dériver un produit de fonctions de la sorte : x^2(x-1)(x^2+4)^3 en utilisant la formule de la dérivée d'un produit de fonctions?

On peut.

je suis passée par la dérivée logarithmique en posant ln y = ln (x^2(x-1)(x^2+4)^3) et isolée le dy/dx

Tu prends le logarithme d'une fonction qui à priori n'est pas strictement positive. La dérivée logarithmique d'une fonction f qui ne s'annulle pas est f'/f. Si la fonction f est strictement positive alors sa dérivée logarithmique est la dérivée de ln f.

la réponse n'est pas la même lorsque j'utilise la formule du produit...

Généralement f'/f n'est pas égal à f'.

par **Carpate** » 31 Juil 2012, 09:26

SaintAmand a écrit:On peut.

Tu prends le logarithme d'une fonction qui à priori n'est pas strictement positive. La dérivée logarithmique d'une fonction f qui ne s'annulle pas est f'/f. Si la fonction f est strictement positive alors sa dérivée logarithmique est la dérivée de ln f.

Généralement f'/f n'est pas égal à f'.

(u . v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u .v . w'
Avec les dérivées logarithmiques (en supposant que u, v, w soient positifs sur leur domaines de définition respectifs :

On retrouve : (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw'

par **CompanionCube** » 31 Juil 2012, 12:57

Mathématique divine a écrit:Pourquoi ne peut on pas passer par (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw' ? svp :hum:

Qu'est ce qui t'en empèche ?

Merci de répondre, si vous essayez de dériver la «chose» avec la formule, vous verrez que ça ne va pas du tout.

Tu trouve un résultat différent ? Cherche les erreurs de calcul.

par **Carpate** » 31 Juil 2012, 15:43

Mathématique divine a écrit:Exactement! Mais pour le produit de fonctions que l'on m'a posé, on ne peut faire (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw' parceque w est une composée de fonction du type f(g(x))...
Pourquoi le fait que w(x) est une fonction composée interdirait-il de calculer sa dérivée ?
J'en suis bien certaine puisque la f' trouvée ne correspond pas du tout à celle trouvée par la dérivée logarithmique. (Oui, j'ai bien isolé le f' en multipliant par f de chaque côté)

Pourquoi ne peut on pas passer par (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw' ? svp :hum:

Merci de répondre, si vous essayez de dériver la «chose» avec la formule, vous verrez que ça ne va pas du tout. :triste:

Mais bien sûr que si ! On peut utiliser la formule (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw'
Je n'ai utilisé la dérivée logarithmique que pour te montrer qu'on obtient (heureusement) la même formule ...
Donc :

par **SaintAmand** » 31 Juil 2012, 19:05

Carpate a écrit:On retrouve : (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw'

Oups, j'ai compris qu'elle s'étonnait de trouver une dérivée logarithmique différente de la dérivée.

par **chan79** » 31 Juil 2012, 19:21

Carpate a écrit:Mais bien sûr que si ! On peut utiliser la formule (uvw)' = u'vw+uv'w+uvw'
Je n'ai utilisé la dérivée logarithmique que pour te montrer qu'on obtient (heureusement) la même formule ...
Donc :

Salut
J'ai rajouté, à la dernière ligne ci-dessus, un petit exposant qui s'était échappé ... :we:

par **chan79** » 02 Aoû 2012, 06:45

Mathématique divine a écrit:merci pour vos reponses, je suis emue :ptdr:

la derivee logarithmique comporte des fractions avec comme denominateurs x2, (x-1) et (x2 + 4)3 et un polynome contenant x2,(x-1) et (x2+4)3 qui multiplie les 3 fractions. la deuxieme reponse ne contient pas de fractions.

Alors, si on calcule f ' (1) avec la derivee logarithmique, on se retrouve avec une multiplication et une division par 0, la derniere etant indefinie. Alors que si on calcule la pente a n'importe quel autre point, les deux derivees donneraient la meme reponse..c'est curieux

Salut
Comme l'a dit SaintAmand, la dérivée logarithmique f'/f concerne les fonctions qui ne s'annullent pas.
Or f(1)=0 donc il n'y a pas de contradiction

par **Black Jack** » 02 Aoû 2012, 12:00

La méthode de la dérivée logarithmique peut être utilisée sans prendre garde au signe de l'argument du log. La réponse finale trouvée reste correcte.

Si g(x) = ln(f(x)) --> g'(x) = f'(x)/f(x)
Si g(x) = ln(-f(x)) ---> g'(x) = -f'(x)/(-f(x)) = f'(x)/f(x)

En considérant ce qui précède : on peut utiliser la technique de la dérivée logarithmique sans se préoccuper du signe de f(x).

Il faut quand même prendre garde de ce qui se passe pour les valeurs de la variable qui annulent f(x).
Mais même là, sans s'étendre sut le pourquoi, on pourra très souvent étendre la fonction dérivée trouvée pour les valeurs de x ponctuelles annulant f(x) ...

On peut sans sourciller faire :

f(x) = x²(x-1)(x²+4)^3 sur R

Et puis poursuivre en "oubliant" le signe de f(x) dans le raisonnement...

ln(f(x)) = 2.ln(x) + ln(x-1) + 3.ln(x²+4)
f '(x)/f(x) = 2/x + 1/(x-1) + 6x/(x²+4)
f '(x)/f(x) = [2(x-1)(x²+4) + x(x²+4) + 6x²(x-1)]/[x.(x-1)(x²+4)]
f '(x) = [2(x-1)(x²+4) + x(x²+4) + 6x²(x-1)] * (x².(x-1)(x²+4)³/(x.(x-1)(x²+4))
f '(x) = [2(x-1)(x²+4) + x(x²+4) + 6x²(x-1)] * x.(x²+4)²
f '(x) = 2x.(x-1)(x²+4)³ + x²(x²+4)³ + 6x³(x-1)(x²+4)²

On devrait préciser, par cette méthode que :
f '(x) = 2x.(x-1)(x²+4)³ + x²(x²+4)³ + 6x³(x-1)(x²+4)² pour tout x de R -{0 ; 1} (et donc même si f(x) < 0)

Il resterait à montrer que f '(x) = 2x.(x-1)(x²+4)³ + x²(x²+4)³ + 6x³(x-1)(x²+4)² est aussi valablee en x = 0 et en x = 1 ...

:zen:

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