Dérivée n-ième

[Melle-bourriquet]

Je suis bloquée sur un exercice de math. J'espère que vous allez pouvoir m'aider.

Soit f la fonction définie sur R* par f(x) = 1/X
Démontrer que pour tout n entier non nul, la fonction f est n fois dérivable sur R*, et déterminer f(^n)

Je sais qu'il faut faire une récurrence mais je n'y arrive pas.

Merci d'avance

[come]

tu dois montrer que n'importe laquelle des n dérivés de f(x) est continue sur R*

[lapras]

salut,
f'(x) = -1/x²
f''(x) = 2/x^3
f^(3)(x) = -6/x^4
f^(4)(x) = 24/x^5
f^(5)(x) = -120/x^6
...
La formule semble être :
f^(n)(x) = (-1)^n * (n!/x^n)
par récurrence :
f^(n+1)(x) = ((-1)^n * (n!/x^n))' = -n * (-1)^n * n!/(x^(n+1)) = -(1)^(n+1) * n!*n / (x^(n+1) )

donc... :++: