Dérivée fonction et suite

[maxoudu94]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :

1) Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que pour tout réel x, f(2x)=2f(x) (relation 1)

a) Déterminer la valeur de f(0).
Ca c'est fait.

b) Démontrer que pour tout x réel, f'(2x)=f'(x).
Ca aussi.

2) Pour un réel x fixé, on désigne par (Un) la suite définie pour tout entier n par Un=f'(x/2^n).

a) Démontrer que la suite (Un) est constante.
Ca aussi.

b)En déduire que f'(x)=f'(0).
La je vois pas.

En vous remerciant...

[neibaf]

Bonjour,

pour tout x, tu as : et comme ta fonction est deux fois dérivable, la dérivée f' est une fonction continue...

[maxoudu94]

Merci beaucoup.
Enfin, on me demande de déterminer toutes les fonction f deux fois dérivables sur R qui vérifient la relation 1.
La aussi, je ne vois pas trop comment m'y prendre.

[neibaf]

Et bien, part du fait que la dérivée est constante, puis utilise le fait que f(2x)=f(x)...

[maxoudu94]

J'ai essayé, mais cela ne me conduit à rien d'intéressant pour l'exercice...

[Monsieur23]

Bonjour ;

La dérivée est constante, égale à f'(0)

Donc f est une fonction affine, de la forme f(x) = f'(0) x + f(0)

[maxoudu94]

Vous êtes encore là neibaf??

[maxoudu94]

Je crains ne pas avoir compris votre raisonnement Monsieur23...

[Monsieur23]

Si une fonction vérifie la relation 1, alors f' est une fonction constante.
Donc f'' est la fonction nulle.

Les seules fonctions dérivables deux fois qui ont une dérivée seconde nulle sont les fonctions affines.

Ca va jusque là ?

[maxoudu94]

Pourquoi les fonctions affines?

[Monsieur23]

Bah c'est comme ça :

Si f''(x) = 0
Alors f'(x) = constante
Alors f(x) = constante*x + constante2

En quelle classe es-tu ?

[maxoudu94]

En terminale S

[Monsieur23]

D'accord, donc j'imagine que tu sais calculer des primitives.

Donc voilà !

Maintenant que tu sais que f est affine ( de la forme ax +b ) tu n'as plus qu'à trouver a et b.

[maxoudu94]

Désolé, mais vous pouvez me donner une piste pour calculer a et b, (je ne vois pas en quoi les primitives permettent de trouver ces 2 inconnues).

Mais d'ailleurs, la réponse à la question ne serai pas de dire que les fonctions f 2 fois dérivables sur R qui vérifient la relation 1 sont les fonctions affines?

[Monsieur23]

Donc tu as pour tout x, f(x) = ax+b

On dérive : pour tout x, f'(x) = a
Or tu sais que f'(x) = f'(0)

Donc a = f'(0)

Ensuite, tu as b = f(0)

D'où f(x) = f'(0)*x + f(0)

Tu as déjà calculé f(0).

Donc pour tout x, f(x) = f'(0) * x

Donc, si une fonction dérivable deux fois vérifie la relation 1, elle est forcément de la forme f(x) = f'(0)*x = ax

Il reste à montrer que toutes les fonctions de la forme f(x)=ax vérifient la relation 1.

[maxoudu94]

Pourquoi pouvez-vous affirmer que b=f(0) ?

[Monsieur23]

f(x) = ax+b

Si tu calcules f(0), tu as f(0) = 0a + b = b

[maxoudu94]

D'accord, et donc pour montrer que toutes les fonctions de la forme f(x)=ax vérifient la relation 1, on fait :

f(2x)=a*2x=2ax
Et 2f(x)=2*(ax)=2ax=f(2x)

Donc ça marche

[Monsieur23]

C'est ça !

[maxoudu94]

Donc la dernière étape que je viens d'écrire n'est qu'une vérification qui confirme nos calculs?