Dérivé et variation d'une fonction

par **Nooby** » 16 Jan 2010, 15:07

Bonjour,

Pour conclure un DM je dois étudier le signe de la fonction f définie sur ]1;+infini[ par f(x)=

.

J'ai donc cherché la fonction dérivé. Je ne suis pas sûr du résultat : f'(x)=

. Puis pour étudier les variations de f, je pense qu'il faut chercher le signe de f'(x) selon x mais c'est là que je bloque.
J'ai tout de même essayer de résoudre l'équation

= 0 et j'ai trouvé soit x=0, soit x= 2 soit x=1 soit x=-1 or f définie sur ]1;+infini[ donc S={2}.

Pouvez-vous m'éclairer sur la façon de procéder pour étudier les variations de f ?

par **B0bby** » 16 Jan 2010, 15:50

Bonjour,

Pour étudier les variation de ta fonction, tu doit effectivement étudier le signe de la dérivé. Tu dérive donc ta fonction f(x) et tu cherche quand f'(x) est positive et quand elle est négative. Ainsi lorsque f'(x) sera négative f(x) sera décroissante, et lorsque f'(x) sera positive f(x) sera croissante.
Tu est donc partie sur la bonne méthode mais tu t'est trompé dans ta dérivé.

C'est une fonction du type u(x)/v(x)
la dérivé sera donc donné par u'v-uv'/v²
le plus simple ici est de laisser v² et de ne pas le développer car un nombre au carré est toujours positif, ainsi le signe de f'(x) sera celui de u'v-uv'

Voilà pour le moment, si tu n'y arrive toujours pas, dit moi ou tu bloque.

par **Ericovitchi** » 16 Jan 2010, 16:03

Cela dit si tu n'as que le signe de la fonction à étudier, tu n'as pas besoin de la dérivée. Elle est simplement du signe de x²-1.

par **Nooby** » 16 Jan 2010, 19:27

Merci pour vos réponses. Je me suis donc corrigé et je suis arrivé à une expression assez complexe je trouve : f'(x)=

Si je développe, je garderai une puissance impaire (4x^5) et cela ne m'aiderait pas pour le signe, je donne quand même ce que j'ai trouvé : f'(x)=

. Comment dois-je faire pour continuer ?

par **Nooby** » 16 Jan 2010, 21:05

J'ai aussi pensé à une simplification qui aiderait plus à identifier le signe de f'(x), à savoir

J'en déduis que le signe de f'(x) dépend de

donc de x et étant donné que x appartient à ]1;+infini[, f est strictement croissante sur ]1;=infini[.

Mon raisonnement est-il valable ?

par **Sa Majesté** » 16 Jan 2010, 21:27

OK pour

Ensuite il faut faire un tableau de signe sur le numérateur (le dénominateur est toujours positif)

par **Nooby** » 16 Jan 2010, 22:43

Bonjour Sa Majesté, tu m'avais déjà aidé la semaine dernière pour un DM sur les fonctions également

J'ai donc fait comme tu as dis : j'ai dressé un tableau de signe et je trouve f décroissante sur ]-infini;-

] ou [O;

] et croissante sur

0] ou [

;+infini[.

Je peux en déduire que le minimum de f sur ]1;+infini[ est atteint pour x=

, (f(x)=4 alors) ? (dans mon exercice, on me demande de trouver le volume minimum d'un cône et j'ai précédemment démontré que le volume s'écrit 2PI/3 * f(x)...)

par **Sa Majesté** » 17 Jan 2010, 20:53

Nooby a écrit:Bonjour Sa Majesté, tu m'avais déjà aidé la semaine dernière pour un DM sur les fonctions également

J'ai donc fait comme tu as dis : j'ai dressé un tableau de signe et je trouve f décroissante sur ]-infini;-] ou [O;] et croissante sur 0] ou [;+infini[.

OK mais n'oublie pas -1 et 1 qui sont des valeurs interdites

Nooby a écrit:Je peux en déduire que le minimum de f sur ]1;+infini[ est atteint pour x=, (f(x)=4 alors) ?

Oui

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