Oui c'est Mac-Laurin epsilon.
Dérivé nieme
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par abcd22 » 15 Jan 2006, 14:16
Les dérivées sont justes mais pas les valeurs en 0 }(0)=0,\ f^{(4)}(0)=1, f(0)=0)
.
Oui c'est Mac-Laurin epsilon.
Oui c'est Mac-Laurin epsilon.
par abcd22 » 15 Jan 2006, 14:25
Non f''(0)=0, c'est périodique seulement à partir de n=3 à cause du x² dans l'expression de f !
par abcd22 » 15 Jan 2006, 14:29
Les dérivées sont justes, et il y a un -1 en plus dans f'' (qui vient de la dérivée seconde de -x²/2).
par Anonyme » 15 Jan 2006, 14:39
Ok c'est pour ca que je comprenais pas alors
Je reprend donc :
f(0)=0
f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - x
f'(0) = 0
f''(x)= (e^x + e^-x)/2 - 1
f''(0)=0
f'''(x)=(e^x - e^-x)/2
f'''(0)=0
f^(4) (x) = (e^x+e^-x)/2
f^'4) (0) = 1
f^(5) (x) = (e^x - e^-x)/2
Donc f(x) = 0+0+0+0+ x^4/4! + x^5/5! f^(5) (c)
f(x) = x^4/4! + x^5/5! f^(5) (c)
Voila , je pense que tout doit etre correct comme cela ?
Je reprend donc :
f(0)=0
f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - x
f'(0) = 0
f''(x)= (e^x + e^-x)/2 - 1
f''(0)=0
f'''(x)=(e^x - e^-x)/2
f'''(0)=0
f^(4) (x) = (e^x+e^-x)/2
f^'4) (0) = 1
f^(5) (x) = (e^x - e^-x)/2
Donc f(x) = 0+0+0+0+ x^4/4! + x^5/5! f^(5) (c)
f(x) = x^4/4! + x^5/5! f^(5) (c)
Voila , je pense que tout doit etre correct comme cela ?
par abcd22 » 15 Jan 2006, 14:54
x^4 est positif sur R, donc ce qui pose problème, c'est le }(c))
.
Il faut montrer que c'est positif, donc étudier le signe de f^(5), en écrivant}(x) = e^x\left(\frac{1-e^{-2x}}{2}\right))
par exemple...
Il faut montrer que c'est positif, donc étudier le signe de f^(5), en écrivant
par abcd22 » 15 Jan 2006, 15:05
Oui mais ça ne suffit pas de dire les limites, il pourrait y avoir des variations bizarres entre deux avec plein de changements de signe... Avec l'écriture que j'ai donnée on peut dire facilement le signe de f^(5) pour x>0 et x<0.
par abcd22 » 15 Jan 2006, 15:21
On voudrait déduire de  = \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} f^{(5)}(c))
que f est positive, donc comme x^4 est positif, on voudrait bien montrer que }(c))
est positif aussi.
Si}(c) \geq 0 \ \mathrm{pour}\ c > 0)
.
Si
par abcd22 » 15 Jan 2006, 16:22
On cherche le signe de }(x) = e^x \left( \frac{1-e^{-2x}}{2} \right) = e^{-x} \left( \frac{e^{2x}-1}{2} \right))
, ça doit mieux se voir sur la dernière écriture en fait :
- quel est le signe de
sur R ?
- et celui de
sur 
? et sur 
?
- quel est le signe de
- et celui de
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