La fonction f (x) est définie par f (x) = [(e^x + e^-x) / 2] 1 [x²/2]
1. Calculer les dérivées f^(n) (x) pour n = 1,2,3,4,5.
2. En déduire f^(n) (0) pour n = 1,2,3,4.
3. Appliquer la formule de Taylor à f (x) à lordre n = 4, avec a = 0 et b = x.
4. En déduire que lon a f (x) ;) 0.
5. Donner les valeurs approchées de f(0.5) et f(1).
Valeurs numériques :
e^1 ;) 2.718 e^-1 ;) 0.368 e^0.5 ;) 1.649 e^-0.5 ;) 0.606
6. Ecrire la formule de Mac Laurin pour la fonction f (x) à lordre n = 4.
7. g(x) = [(e^x + e^-x) / 2]. Calculer g (x). En déduire le sens de variations de g (x).
8. Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions g(x) et h(x) = 1 + (x²/2)
Voici l'exercice dont je voudrais avoir des renseignements...
Pour les 2 premieres questions je trouve
f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - 1 - x
f'(0) = 0
f''(x)= (e^x + e^-x)/2 - 1
f''(0)=0
f'''(x)=(e^x - e^-x)/2
f'''(0)=1
f^(4) (x) = (e^x+e^-x)/2
f^'4) (0) = 0
f^(5) (x) = (e^x - e^-x)/2
Aprés aucune idée ........
Merci
Dérivé nieme
59 messages
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par PépéLélé » 14 Jan 2006, 21:19
Est-ce bien niveau "Lycée" ?
Sinon, une petite erreur, mais juste de frappe apparemment, puisque ton résultat est correct :
=> f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - x
Sinon, une petite erreur, mais juste de frappe apparemment, puisque ton résultat est correct :
f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - 1 - x
=> f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - x
par PépéLélé » 14 Jan 2006, 21:34
C'est vrai que c'est pas forcément difficile, mais c'est la tête de la formule de Taylor qui n'est pas très agréable ...
Puis perso, j'ai vu ça en 1ère année de deug MIAS.
D'ailleurs, il existe tout un tas de formules qui se ressemblent plus ou moins, c'est la formule de Taylor-Lagrange, non ?
Puis perso, j'ai vu ça en 1ère année de deug MIAS.
D'ailleurs, il existe tout un tas de formules qui se ressemblent plus ou moins, c'est la formule de Taylor-Lagrange, non ?
par PépéLélé » 14 Jan 2006, 21:38
Bon bah dans ce cas je sais pas, sans ton cours, c'est pas évident.
par Anonyme » 14 Jan 2006, 21:55
Revenons sur la question :
La fonction f (x) est définie par f (x) = [(e^x + e^-x) / 2] 1 [x²/2]
1. Calculer les dérivées f^(n) (x) pour n = 1,2,3,4,5.
2. En déduire f^(n) (0) pour n = 1,2,3,4.
3. Appliquer la formule de Taylor à f (x) à lordre n = 4, avec a = 0 et b = x.
4. En déduire que lon a f (x) ;) 0.
5. Donner les valeurs approchées de f(0.5) et f(1).
Valeurs numériques :
e^1 ;) 2.718 e^-1 ;) 0.368 e^0.5 ;) 1.649 e^-0.5 ;) 0.606
6. Ecrire la formule de Mac Laurin pour la fonction f (x) à lordre n = 4.
7. g(x) = [(e^x + e^-x) / 2]. Calculer g (x). En déduire le sens de variations de g (x).
8. Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions g(x) et h(x) = 1 + (x²/2)
Voici l'exercice dont je voudrais avoir des renseignements...
Pour les 2 premieres questions je trouve
f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - 1 - x
f'(0) = 0
f''(x)= (e^x + e^-x)/2 - 1
f''(0)=0
f'''(x)=(e^x - e^-x)/2
f'''(0)=1
f^(4) (x) = (e^x+e^-x)/2
f^'4) (0) = 0
f^(5) (x) = (e^x - e^-x)/2
Est ce juste ?
Aprés aucune idée ........
Merci
La fonction f (x) est définie par f (x) = [(e^x + e^-x) / 2] 1 [x²/2]
1. Calculer les dérivées f^(n) (x) pour n = 1,2,3,4,5.
2. En déduire f^(n) (0) pour n = 1,2,3,4.
3. Appliquer la formule de Taylor à f (x) à lordre n = 4, avec a = 0 et b = x.
4. En déduire que lon a f (x) ;) 0.
5. Donner les valeurs approchées de f(0.5) et f(1).
Valeurs numériques :
e^1 ;) 2.718 e^-1 ;) 0.368 e^0.5 ;) 1.649 e^-0.5 ;) 0.606
6. Ecrire la formule de Mac Laurin pour la fonction f (x) à lordre n = 4.
7. g(x) = [(e^x + e^-x) / 2]. Calculer g (x). En déduire le sens de variations de g (x).
8. Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions g(x) et h(x) = 1 + (x²/2)
Voici l'exercice dont je voudrais avoir des renseignements...
Pour les 2 premieres questions je trouve
f'(x) = (e^x - e^-x)/2 - 1 - x
f'(0) = 0
f''(x)= (e^x + e^-x)/2 - 1
f''(0)=0
f'''(x)=(e^x - e^-x)/2
f'''(0)=1
f^(4) (x) = (e^x+e^-x)/2
f^'4) (0) = 0
f^(5) (x) = (e^x - e^-x)/2
Est ce juste ?
Aprés aucune idée ........
Merci
par abcd22 » 15 Jan 2006, 14:46
Euh non elles sont justes les dérivées, il y a juste un -1 en trop dans f' (mais quelqu'un l'a déjà fait remarquer avant). En fait les dérivées n-ièmes sont périodiques à partir de n=3 (} = f^{(5)})
).
Pour}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2})
et pour}(x) =\frac{e^x + e^{-x}}{2})
mais bon on te demande pas de calculer tout ça.
La formule de Taylor (en a =0 et b=x) c'est = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \epsilon (x)x^4)
(ça doit être dans ton cours), il suffit de remplacer...
Pour
et pour
mais bon on te demande pas de calculer tout ça.
La formule de Taylor (en a =0 et b=x) c'est
par Anonyme » 15 Jan 2006, 15:13
La formule semble la meme sauf qu'a la fin j'ai [(b-a)^n+1]/ (n+1)! f^(n+1) (c)
avec a
Ca je comprend pas trop , en tout ca Epsilon , c'est pour Mac laurin je crois, pas pour Taylor...
Donc sinon je trouve f(x) = -1+0+0+ x^3/3! + 0 + x^5/5! f^(5) (c)
La fin je suis pas sur car comme j'ai dit au debut dans mon cours c'est pas tout a fait la meme sur la fin..
avec a
Ca je comprend pas trop , en tout ca Epsilon , c'est pour Mac laurin je crois, pas pour Taylor...
Donc sinon je trouve f(x) = -1+0+0+ x^3/3! + 0 + x^5/5! f^(5) (c)
La fin je suis pas sur car comme j'ai dit au debut dans mon cours c'est pas tout a fait la meme sur la fin..
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