Dérivé et limitte

[fleurdekookyse]

Bonjour j'ai un DM à faire et je suis un peu perdue, je vous parvient mon sujet et les questions que j'ai déja traité. Merci de m'aider pour la suite !


La fontion offre pour un produit est donnée par f(q)=0.5q°2+10q+50 et la fonction demande de ce même produit par g(q)=200+10q+500:(2q+5), où la quantité q est exprimée en milliers d'objets et la demande en euros par objet.

1.Demontrer que f est croissante sur [0;+&]
(q°2 = q au carré - & symbolise l'infini - : est une signe de division )

f'(q) = q+10
La dérivé ets toujorus posotive car q+10>0 ( q >0 , c'est une quantité )
Comme le signe de la dérivé est positif, la fonction f est croissante sur [0;+&]

2.Etudier le sens de variation de g sur [0;+&]

g'(q)=-10+500*1:(2q+5)°2

g'(q)=(-40q°2-200q-1250):(2q+5)

g'(q)=0 revient à -40q°2-200q-1250=0
soit -4q°2-20q-125=0
delta=(-20)°2-4*-4*-1250
=-19600
delta négatif pas de solution

La fonction dérivée g'(q) n'est jamais nulle donc la fonction g(q) est constante.
Or (2q+5)°2 est toujours positif g'(q) varie en fonction du signe de -40q°2-200q-1250 a=-40<0 donc g(q) est décroissante

tableau de variation
g(0)=300 et lim g(q)=-& quand q tend vers +&

3.Determiner les limittes de f et g en +&

lim f(q) = lim 0.5q°2=+&
(pour q tend vers +& )

g(q) = 20-10q+500:(2q+5)=(-20q°2+350q+1500):(2q+5)

donc lim g(q) = lim -20q°2:2q = lim (-10q)2q : 2q = lim -10q = -&
( quand q tend vers +& )

Soit h(q) la fonction définie sur [0;+&] par h(q) = f(q)-g(q)

4.Dressez le tableau de variation ( complet ) de la fonction h

J'ai trouvé pour h(q)=(q°3+42.5q°2-200q-1250):(2q+5)

J'ai trouvé pour h'(q)=(4q°3-300q°2-175q+2500):(2q+5)°2

Mon problème commence ici, mon numérateur est un polynome du 3eme degrès du type ax°3+bx°2+cx+d que je n'est pas appris à résoudre.

J'ai essayé d'étudier les variations d'une fonction auxiliaire i(q)=(4q°3-300q°2-175q+2500) mais la racines de i'(q) qui appartient à l'intervalle est une valeur approché.
de plus ma fonction i(q)=0 a deux solutions une sur [0;q1] et l'autre sur [q1;+&] mais toutes les deux sont des vauleurs décimales.

j'ai du me tromper dans un de mes calculs si vous pourriee reprendre l'exercice et ma dire ma/mes fautes se serait super gentil ... j'ai perdu espoir dans ma bonne étoile des maths

merci beaucoup et bon dimanche.

Une élève de terminale ES qui passe un super dimanche matin :marteau:

[hellow3]

Salut.

1. OK.

2. Rappel: (1/u)'=-(1/u°2)*u'
donc (1/(2q+5))'=-1/((2q+5)°2) * 2

3. OK.

4. pour h(q), j'ai:
h(q)=f(q)-g(q)=0.5q°2+10q+50-200-10q-500:(2q+5)
h(q)=0.5q°2+50-200-500:(2q+5)
h(q)=0.5q°2-150-500:(2q+5)
h(q)=(0.5q°2-150)*(2q+5):(2q+5)-500:(2q+5)
h(q)=((0.5q°2-150)*(2q+5)-500) :(2q+5)
h(q)=((q°3+2.5q°2-300q-750)-500) :(2q+5)
h(q)=((q°3+2.5q°2-300q-750-500) :(2q+5)
h(q)=(q°3+2.5q°2-300q-1250) :(2q+5)

[fleurdekookyse]

Pour le 2
(1/u)'=-(1/u°2)*u'
donc (1/(2q+5))'=-1/((2q+5)°2) * 2

donc quand on multiplie sa donne bien -2/((2q+5)°2)


et donc g'(q) = 10q+500 * -2/((2q+5)°2)

si on met sur le même dénominateur, sa donne bien g'(q)=(-40q°2-200q-1250)/((2q+5)°2) ? ou j'ai fait une erreur ?


Merci beaucoup pour votre aide !!!

[fleurdekookyse]

bon h(q) j'ai bien compris la méthode.

Pour h'(q) j'ai trouvé h'(q) = (4q°3+20q°2+1225q+4000)/((2q+5)°2)

mais pour calculer h'(q)=0 je dois chercher 4q°3+20q°2+1225q+4000=0 comment je peut résoudre cette équation ?

je dois calculer la dérivé de 4q°3+20q°2+1225q+4000 ? et trouver ensuite les solutions de l'équation ?

Merci !

[hellow3]

1.
Ton premier message, g'(q)=-10+500*1:(2q+5)°2 Non, erreur de signe.

g(q)=200+10q+500:(2q+5)
g'(q)=10+500*(-1/(2q+5)°2)*2
g'(q)=10-1000/(2q+5)°2
g'(q)=[10(2q+5)°2 - 1000] /(2q+5)°2
g'(q)=[10(4q°2+20q+25) - 1000] /(2q+5)°2
g'(q)=[40q°2+200q+250 - 1000] /(2q+5)°2
g'(q)=[40q°2+200q- 750] /(2q+5)°2

2.
Oui, en regardant un peu mieux,
h(q)=(q°3+2.5q°2-300q-1250) :(2q+5)
tu peux remarquer que q°3+2.5q°2=(0.5q°2)(2q+5)
et que -300q-1250=-150(2q+5)

donc h(q)=(2q+5)(0.5q°2 -150)/(2q+5) = 0.5q°2 -150
Je penses que ca va un peu te simplifier les calculs... ....

[fleurdekookyse]

j'ai fait une faute en recopiant g(q) = 200 -10q + 500/((2q+5)°2)


donc
g'(q) = -10+500*-1/((2q+5)°2)*2
g'(q) = -10 -1000 /((2q+5)°2)
g'(q) = ( -1000 -10((2q+5)°2) ) / ((2q+5)°2
g'(q) = ( -1000 -10( 4q°2 +20q +25 ) / ((2q+5)°2
g'(q) = ( -40q°2 -200q -1250 ) / ((2q+5)°2

et pour la fonction h(q)=f(q)-g(q)

h(q) = 0.5q°2+10q+50-(200-10q+50/(2q+5)
h(q) = ((0.5q°2+20q-150)(2q+5)-500)/(2q+5)
h(q) = (q°3 +42.5q°2-200q-1250) / (2q+5)

on est d'accord ? si h(q) est okay j'essaie de calculer toute seule la dérivée à l'aide de vos indications et je vous donne ma réponse mais confirmer moi g'(q) et h(q) svp !

encore désolé pour mon erreur, merci beaucoup pour votre activité

[hellow3]

g' OK.

h(q) = (q°3 +42.5q°2-200q-1250) / (2q+5)
OK.
mais q°3 +42.5q°2-200q-1250= (q°2+20q-150)(2q+5)
donc h(q)=q°2+20q-150

[fleurdekookyse]

je crois qu'il y a un problème,

h(q) = (q°3 +42.5q°2-200q-1250) / (2q+5) okay

mais q°3 +42.5q°2-200q-1250= (q°2+20q-150)(2q+5)+500

non ?

[hellow3]

Oui, tu as raison, desolé. J'ai du faire une erreur de calcul.

[fleurdekookyse]

comment je dois calculer la dérivé de h(q), je ne sais pas résoudre les équations du troisieme degrès...

Merci ! Pas de problème pour l'erreur ;)

[hellow3]

Excuse-moi, tu peux reverifier ton enoncé:
f(x)=0.5x² +10x +50
g(x)=200 -10x +500/(2x+5).

Sinon,
g décroissante donc -g croissante.
f croissante
On a alors f-g=h fonction croissante comme somme de deux fonctions croissantes.

[fleurdekookyse]

merci beaucoup, c'est vrai que je n'y avais pas pensé !
Ma question est :

Dressez le tableau de variation ( complet ) de la fonction h.

dois-je faire une ligne avec la dérivé de h, h' ? ou les variations de f suffises ?

[hellow3]

Salut.

J'aurais dis non, mais le (complet) pose des questions.

Met la, ca coute pas cher. (surtout si ton DM est noté!).
Tu sais qu'elle est strictement positive (comme les deux autres).