Ex - Dérivation - Volume d'un prisme

[pookie-91]

Bonjour !

Je n'arrive pas un des exercices que j'ai à faire pendant ces vacances. Je bloque complètement sur celui-là. Alors si vous pouviez m'aider, ne serait-ce que sur quelques questions, je vous en serai vraiment reconnaissante !!


Le couloir entre deux bâtiments a la forme d'un prisme droit dont deux des faces sont deux immenses baies vitrées rectangulaires de 20m de long sur 5m de large.
Une section de ce prisme par un plan perpendiculaire à sa base est le triangle isocèle ABC dont chacun des côtés de même longueur mesure 5m. La longueur BC représente l'écartement à la base des deux baies vitrées, elle sera notée x (en mètres). Le but du problème est de déterminer x tel que le volume de ce couloir prismatique soit le plus grand possible.
(La compréhension de l'énoncé est déjà un exploit en soit !!)

1.a) Quelles sont les valeurs possibles de x ?
b) Calculer le volume V(x) du prisme en fonction de x
2. f est la fonction défini sur [0;10] par : f(x)=x²(100-x²)
a) Étudier les variations de f
b) Pour quelle valeur de x, f admet-elle un maximum ?
3.a) A partir des variations de f, déterminer les variations de la fonction V sur [0;10]
b) En déduire la valeur Xo de BC qui rend maximal le volume du couloir.
c)Donner l'arrondi au centième de Xo

Merci de votre aide par avance

[Noemi]

Variation possible de x : de 0 à 10.

hauteur du prisme : h^2 = 25-x^2/4 = (100-x^2)/4
soit h = 1/2 *V(100-x^2)

Volume du prisme : V= x/4 *V(100-x^2)*20 = 5x*V(100-x^2)

La fonction f indiquée est-elle correcte ?

[pookie-91]

oui oui, la fonction est bien f(x)=x²(100-x²)

[pookie-91]

et je suppose que pour étudier les variations de f, il faut que je dérive x²(100-x²) ?? Ce qui ferait -4x(x²-50) ??

[Noemi]

La dérivée de f(x)=x²(100-x²)
est f'(x) = 2x(100-x^2) + x^2*(-2x)
= 2x(100-2x^2)

[pookie-91]

oui mais ca revient au même -4x(x²-50)= 2x(100-2x²) c'est juste que le résultat est factorisé

[Noemi]

Exact, étudie le signe de la dérivée.

[pookie-91]

alors, la dérivé est positive sur ]-inf ; 5rac2] et négative sur [5rac2 ; +inf[ ?
(en se plaçant sur [0;10]) et donc f serait croissante sur ]-inf ; 5rac2] et décroissante sur [5rac2 ; +inf[ ?

[Noemi]

L'équation f'(x) = 0 admet trois solutions ; x = -5V2 ; x = 0 et x = 5V2.
On demande une étude sur [0;10] et non -oo ; +oo.

[pookie-91]

Exact, en plus au sommet de ma débilité je marque qu'on se place sur [0;10] !!
Et donc étant sur cet intervalle, je peux enlever la solution -5V2.
Donc en fait, je trouve positif sur [0;5V2] et négatif sur [5V2;10]
avec ce que ca implique pour f