Dérivation (Tangente)

[Mathematicien13]

Bonjour, j'ai 2 exercices à résoudre et j'hésite sur quelques points.

Exercice 1 : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x² et Cf la représentation graphique de f dans un repère.
Soit a appartient à IR et A un point appartenant à Cf d'abscisse a.
Soit (Ta) la tangente à Cf au point A.

1) Déterminer l'équation réduite de (Ta).

2) a) Montrer que pour tout nombre appartenant à IR, (Ta) a un seul point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

b) Soit Ma le point d'intersection entre (Ta) et l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de Ma en fonction de a.

3) a) En déduire et expliciter la construction géométrique au compas du point Ma.

b) Construire (Ta) sur la figure en utilisant la démarche de la question précédente (laisser les traits de construction).


Exercice 2: Soit (O, i, j) un repère et C la courbe d'équation y = 1/x dans ce repère.
Soit M un point de C et (T) la tangente au point M de la courbe C.

1) Montrer que (T) a un seul point d'intersection A avec l'axe des abscisses et a un seul point d'intersection B avec l'axe des ordonnés.

2) Montrer que M est le milieu de [AB]

3) Faire une figure qui représente cette situation.


Voilà pour l'énoncé, voici maintenant ce que j'ai commencé,veuillez s'il vous plaît m'aider à améliorer mes réponses. Je vous remercie d'avance pour votre précieuse aide.

Exercice 1 :

1)Equation réduite de (Ta) : y = f'(a)(x-a) + f(a)
f(x) = x² donc f'(x) = 2x donc f(a) = 2x² et f'(a)= 2a
Donc y = 2a(x-a) + a² = 2ax - 2a² + a² = 2ax - a².

2) a) (Ta) est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées donc elles sont sécantes donc (Ta) a un seul point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

b) y = 2ax - a² y = 2 a*0 -a² y = -a²
x = 0 x = 0 x = 0

(Ta) a un seul point d'intersection avec l'axe des ordonnées Ma( 0 ; -a² )

3) a) On construit le symétrique par rapport à C du point de l'axe des ordonnées car l'ordonnée est l'image de a et on obtient Ma.

b) Construire la tangente grâce à la démarche du 3 a).


Exercice 2 :

1) f'(x) = -1/x² car y = f(x) = 1/x
Donc y = f'(a)(x-a) + f(a)
= -1/a²(x-a) + 1/a
= (-1/a²)x + a/a² + 1/a = (-1/a²)x + 1/a + 1/a = (-1/a²)x + 2/a.

(T) est une droite ayant pour coefficient directeur -1/a² n'est pas égal à 0. Donc (T) n'est pas parallèle à l'axe des abscisses donc elle est sécante avec l'axe des abscisses donc elle a un point d'intersection avec l'axe des abscisses. Le coefficient directeur n'est pas égal à + l'infinie donc (T) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées donc (T) a bien un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses et un seul avec celui des ordonnées.

2)On considère 0 milieu de [AB] : A(xa;0) B( 0; yb) Milieu de [AB] : ((xa + xb)/2 ; (ya + yb)/2 ) = (xa/2 ; yb/2)

Soit M(a;1/a). L'équation de la tangente en M(T) est y = (-1/a²)x + 2/a.
A appartient à (T) : ya = (-1/a²)xa + 2/a B appartient à (T) : yb = (-1/a²)xb + 2/a
(-1/a²)xa + 2/a = 0 yb = 2/a
(-1/a²)xa = -2/a
xa = +2a
(xa/2; yb/2) = (2a/2; (2/a)/2) ) = (a; 1/a) Donc M est le milieu de [AB]

3) Figure faite.

Voilà, j'espère que vous m'aiderez à corriger mes erreurs, sauf si tout est juste ! :king2:
Merci d'avance :id:

[Sylviel]

IL vaut mieux mettre tes réponses directement après l'énoncé, car tel quel c'est un peu compliqué de s'y retrouver.

Pour l'exercice 1 ça me parait juste. Je ne comprends pas bien ta construction cependant...

Pour le 2 j'ai la flemme, mais à vue d'oeil ça a l'air correct.

[Mathematicien13]

Bonsoir,

Veuillez m'excuser, j'avoue que ce n'est pas très lisible, mais cependant j'aimerais que vous me donniez votre avis sur la question 3 a), j'avoue que moi-même je ne comprend pas très bien ce que j'ai trouvé. Puis ce serait bien si vous pouviez également donner votre avis sur l'exercice 2 de la question 1.

Cordialement.

[Sylviel]

Pour la 3a la question est : comment obtenir a² en distance. Une fois que tu as ça il suffit de reporter cette distance sur l'axe des ordonnées.

Pour l'exercice 2 question 1 Ok

[annick]

Bonjour,
Tes premières questions sont justes.
Pour le 3 a), Tu sais que l'ordonnée de A est a² et celle de Ma -a² et tu sais que Ma se situe sur l'axe des ordonnées.

Donc si tu as A(a,a²), tu as A1(0,a²) et Ma est le symétrique de A1 par rapport à O.

Ensuite pour construire ta tangente, tu joints A et Ma trouvé précédemment.