Dérivation / sens de variation

[Winspard]

Bonjour,

Je n'arrive pas a résoudre un exercice, j'aurai donc besoin de votre aide.

Soit une fonction : f(x)= x - 2/(x-1) (définie sur ]1; +infini[

Tous d'abord je dois trouver la limite de f(x) en 1 et en déduire une asymptote a C;puis trouver la limite de f(x) en +infini pour la première question
ça j'ai réussi je trouve :
pour x>1 -infini et quand x<1 +infini. -> Asymptote verticale d'équation x=1
Pour la limite en +infi je trouve + infini

Ensuite j'ai une première question ou je bloque "Prouver que C a pour asymptote la droite D d'équation y=x"

Puis je dois calculer la dérivée de f(x), j'ai trouvé un résultat dont je ne suis pas sure qui est : f'(x)=(x²-x-2)/(x-1)
Puis trouver le tableau de variation de f. Mais je trouve Delta < 0, avec Delta=(-8) ce qui me pose problème...
Ensuite je dois déterminer l'équation de la tengente T a la courbe C en a=2. (ça je devrais réussir a le faire une fois que je serais sur de mes résultats ci-desus.)

Voila j'ai donc besoin d'aide pour "Prouver que C a pour asymptote la droite D d'équation y=x" et pour trouver la dérivée de f(x) (confirmer en tous cas)

J'espère que j'ai été assez clair.
Merci d'avance.

[Timothé Lefebvre]

Salut,

tu es sûr(e) du domaine de définition de f ? Ce ne serait pas plutôt R\{1} ?

[Winspard]

Non j'ai bien : f est la fonction définie sur ]1;+infini[ par f(x)=x-2/(x-1)

[Winspard]

UP

Personne ne peux m'aider ?

[Ericovitchi]

Pour montrer qu'une fonction a une asymptote oblique (en l'occurrence la droite y=x) il faut montrer que la distance entre la courbe et la droite tend vers zéro donc que f(x)-x tends vers zéro ce qui est très simple.

Comment as tu calculé ta dérivé de f(x)=x-2/(x-1) ?
-2(x-1) c'est de la forme 1/V donc la dérivée c'est -V'/V²
donc 2/(x-1)²
ta dérivée c'est donc 1+2/(x-1)² et je n'ai pas l'impression que ça donne l'expression que tu as mis

On voit que ta dérivée est toujours positive (pas besoin de discriminant) et donc que ta courbe est toujours croissante ...

[Winspard]

He bien, j'avais trouvé ça la première fois que j'avais chercher mais ensuite j'avais essayer de tous mettre sur le même dénominateur, ce qui semblerait n'est pas une bonne idée, puis j'ai essayer de factoriser d'ou le résultat que je vous est donné plus haut...

Sinon pour ce qui est de l'asymptote oblique, je n'ai pas vu ça en cours... j'ai vu que l'équation d'un asymptote oblique était y=ax+b et pour le prouver il fallait que la limite de f(x)-(ax+b) quand x tend vers + ou - l'infi devait donnée 0.
Donc si j'ai bien suivis ton raisonnement, ce n'est pas la même chose, je me trompe ?

Edit: Bon ba en fesant la limite de f(x)-(ax+b) quand x tend vers +infi j'obtient 0 donc c'est bien une asymptote oblique.
Par contre j'ai un petit doute, es ce que +infi - infi = 0 et non Forme indeterminé ?

[Ericovitchi]

+infi - infi est bien indéterminé
mais ça n'est pas le cas ici : f(x)-x = -2/(x-1) qui tend effectivement vers zéro

il fallait que la limite de f(x)-(ax+b) quand x tend vers + ou - l'infi devait donner 0. Donc si j'ai bien suivi ton raisonnement, ce n'est pas la même chose, je me trompe ?

C'est exactement ce raisonnement là.

[Winspard]

En effet en lisant la première partie de a réponse, j'ai réalisé que c'était la même chose...
Merci beaucoup pour ton aide, elle m'a été très utile !