Dérivation point de vue local

[Kirso10]

Bonjour, je me sens coupable de ne pas pouvoir aider mon fils sur la dérivation etant donné que c'est loin derrière moi. Il me demande:

-Démontrer que , si la fonction g est définie pour tout réel x différent de -3 par g(x)= -3/x+3 , alors, pour tout

réel a,g est dérivable et g' ( a)= 3/ (a + 3)²

- Peut - on déterminer d'autres fonctions admettant , pour tout réel a différent de -3, un nombre dérivé égal à 3/ (a+3)²

Merci de vos réponses d'avance

[Rdvn]

Voici de quoi vous dépanner
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/F ... derive.pdf
(passez les démonstrations dans un premier temps)

g=-3.h pour h la fonction définie par h(x)=1/(x+3)
ATTENTION AUX PARENTHÈSES dans g(x)
donc g'=-3.h'
puis voir (1/u)' dans le document
deuxième question : toutes les fonctions f définies par f=g+C où C est une constante
Proposez vos essais, bon courage

[hdci]

Bonjour,

pour la première question, il s'agit ni plus ni moins que l'application d'une formule du cours : si u est une fonction dérivable alors la dérivée de est... (il faut ici faire l'effort d'aller rechercher ce qu'on est censé avoir appris et qui se trouve dans le cours).

Pour la seconde question, on considère une autre fonction h vérifiant cette égalité, que peut-on alors dire de g'-h' pour tout réel distinct de 3 ? On utilise ensuite simplement le fait que g'-h'=(g-h)' et on sait alors que la fonction g-h a une propriété intéressante car son taux de variation est...

[Kirso10]

Merci , mais j'ai pas compris la deuxième question....
Vous pouvez m'en dire plus s'il vous plait

[hdci]

Pour la seconde question, on demande "peut-on déterminer d'autres fonctions vérifiant...".

Appelons h une telle autre fonction. Alors on a



Ce qui revient à écrire (je vous laisse compléter les pointillés)



Or on a donc, en posant



Commencez par répondre à cette question : qu'y a-t-il à la place des "" ?

[Rdvn]

Pour la deuxième question, on ne vous demande pas de déterminer toutes les fonctions ayant la même dérivée que g (ce qui serait du programme de terminale, cet exercice ma parait être posé en première) mais seulement de montrer qu'il y en a.
Je vous avais donné la réponse lors de mon premier message : il ne reste qu'à justifier cette réponse :
si g et h sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et f=g+h
f'=g'+h'
la dérivée d'une fonction constante est ...
(tout ceci est dans le document indiqué lors de ma première réponse, au cas très envisageable où le cours serait inexploitable, voire inexistant)
Bon courage