Dérivation exp

par **bertrands** » 09 Déc 2010, 21:29

Dans une première partie d'exercice j'ai étudié la fonction suivante:
g (x)= (x+1) exp (-x)
(C) sa représentation graphique

Dans la deuxième partie, on me demande pour:
g k (x)= (x+1) exp (-kx)
avec k appartient à Z
g k définie sur R
(Ck) sa représentation graphique
Pr k=1 on retrouve (Ck) = (C)

- étudier le signe de (x+1)*(exp(-x) -1) et en déduire les positions relatives des courbes (Ck) et (Ck+1)
- calculer g'k(x) et g''k(x)
je suis bloqué par ce fameux k, comment faut-il procéder ?

Merci pour vos réflexions

par **Sylviel** » 09 Déc 2010, 22:17

Ben k c'est une constante, donc tu fais comme si c'était un nombre : 5, 12, 13... sauf que tu l'écris k et c'est tout :-)

par **bertrands** » 09 Déc 2010, 22:40

C'est plus l'utilisation de cette constante dans les calculs qui me dérange !

Je trouve:
g'(x)= exp(-kx)*(1-k(x+1))
g''(x)= -kexp(-kx)*(-k(x+1))
est-ce bon ?

pour la première question, la dérivée serait: -xexp(-x) -1
avec signe positif -oo à 0 et négatif de 0 à +oo, mais je ne vois pas comment déduire les positions des courbes

par **Sylviel** » 09 Déc 2010, 22:48

Pour étudier la position de Cf par rapport à Cg il faut étudier le signe de f-g. Pour cela il est parfois nécessaire de dresser un tableau de variation de f-g (donc calculer la dériver de f-g).

La dérivée me semble juste, cependant pour la dérivée seconde il me semble que tu as oublié un terme...

par **bertrands** » 09 Déc 2010, 23:00

ok pour le calcul de f-g, mais je ne comprends pas pourquoi on me fait étudier (x+1)*(exp(-x) -1) pour ensuite "en déduire" la position des courbes (Ck) et (Ck+1), quel est le rapport ?

j'ai recalculé g'' et je trouve pareil !!!

par **Sylviel** » 10 Déc 2010, 00:10

As tu essayé d'exprimer g_(k+1)-g_k ?
Pour ta dérivée seconde comment es-ce que tu la calcules ?

par **bertrands** » 22 Déc 2010, 10:50

Pour la dérivée seconde, j'ai peut etre trouvé mon erreur !!!, voici mon calcul détaillé:
g'k(x)= exp(-kx)*(1-k(x+1))
type u*v
avec u= exp(-kx) et v= (1-k(x+1))= 1-kx-k
u'= -k*exp(-kx) v'= -k
g"k(x)= u'v+uv'
g"k(x)= -k*exp(-kx)*(1-k(x+1))+exp(-kx)*-k
g"k(x)= -k*exp(-kx)*(1-k(x+1)+1)
g"k(x)= -k*exp(-kx)*(2-k(x+1))

par **Sylviel** » 22 Déc 2010, 11:37

La dérivée seconde me parait correcte. Pour l'étude des positions il me semble qu'essayer d'écrire g_{k+1}-g_k devrait t'aider...

par **bertrands** » 22 Déc 2010, 15:30

Il m'est demandé après le calcul des dérivées première et seconde :
a. Pour k > 0, montrer que la fonction gk admet un maximum
b. Pour k < 0, montrer que la fonction gk admet un minimum
c. Pour k différent de 0, montrer que la courbe (Ck) admet un point d'inflexion
Je sais que je dois utiliser pour a et b la derivée premiere et pour le pt d'inflexion la dérivée seconde.
Pb: je suis incapable de déterminer le signe de ces dérivées, tjrs cette constante qui m'ennuie !

par **Sylviel** » 22 Déc 2010, 16:36

Pourtant rien de compliqué : considère que k vaut 5 par exemple !

gk'(x)=exp(-kx)*(1-k(x+1))
de quel signe est chacun des facteurs (suivant la valeur de x) ?

par **bertrands** » 22 Déc 2010, 18:22

Je dirai:
pour le premier facteur qu'il est toujours positif car exp
pour le deuxième avec k=5, négatif sur ]-oo;-4/5[ et positif sur ]-4/5;+oo[
pareil pour g'5(x)

Dérivation exp

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