Ex 1 .
Soit C la courbe d'équation y =
x et (d) la droite d'équation y = x+3 .1. Démontrer qu'il existe un point A de la courbe C pour lequel la tangente T est parallèle à la droite (d) .
On sait que la dérivée d'une fonction
x est égal à f'(x) = 1/(2;)x).Pour qu'il existe un point A de la courbe C pour lequel la tangente T est parrallèle à droite (d) il faut que T et (d) aient le même coefficient directeur, on connait le coefficient directeur de (d) = 1 , d'où f'(x) = 1 = 1/(2;)x)
Résolvons maintenant cette équation :
1 = 1/(2;)x) 2;)x = 1
x = 1/2 x = 1/4 . La solution est x = 1/4. On a A(1/4;b), on cherche donc b= f(1/4)= 1/4=1/2. Le point A existe en (1/4;1/2).
2. Ecrire une équation de T .
La tangente a pour coefficient directeur 1. Son équation est donc de la forme y = 1x+p. Le point de contact est A(1/4;1/2), on a donc 1/2 = 1/4+p p = 2/4-1/4 = 1/4.
Une équation de la tangente T peut être : y = x + 1/4.
Ex 2.
1. Tracer la courbe représentative de la fonction définie sur R par f(x) = x²-4x+1 dans un repère.
Pour tracer la courbe représentative de ce polynôme du second degré, calculons son discriminant
( Il y a t-il une autre manière recourant à la dérivation ? ) : = b²-4ac = -4²-4(1)(1) = 16-4 = 12 . = 12 > 0 => L'équation admet deux solutions tel que :- x1 = (-b-;);))/2a = (4-;)12)/2 = 0,25 (environ)
- x2 = (-b+;);))/2a = (4+;)12)/2 = 3,75 (environ)
L'extremum vaut : ( -b/2a ; -(;)/4a) ) (-2 ; -3 )
On prend quelque points ( je vais pas le faire il est tard ) puis on trace.
2. Montrer qu'elle admet en un point A une tangente de coefficient directeur 2. On indiquera les coordonnées de A , on tracera cette tangente et on donnera une équation .
Calculons la dérivée de f(x) = x²-4x+1 : f'(x) = 2x-4 = coefficient directeur = 2 .
Résolvons l'équation :
2x-4=2 2x = 6 x=3 . On a pour solution x=3 . On a A (3;b) , on cherche donc b=f(3)=3²-4x3+1 = 9-12+1= -2 . Les coordonnées de A sont ( 3;-2 ).
La tangente a pour coefficient directeur 2 . Son équation est sous la forme y = 2x + p , on a donc -2= 2x3 + p p = -8 .
Une équation de la tangente est y = 2x-8 .
Ex 3.
Sur le graphique ci-dessous est représenté le coût total, exprimé en euros, en fonction du nombre d'articles de produits et la tangente T à cette courbe au point d'abscisse 200.
Cette tangente passe par les points A(200;880) et B(0;600).
Lien pour le graphique : https://imagizer.imageshack.us/v2/359x600q90/841/16py.jpg
1. Par lecture graphique, déterminer le coût fixe , c'est-à-dire le coût lorsqu'un aucun article n'est produit .
Par lecture graphique le coût fixe ou le coût lorsqu'un aucun article est produit est f(x) = 600, c'est à dire 600.
2. Déterminer le coût total pour 200 articles produits , noté C.
Par lecture graphique on peut dire que C(200)=880, pour 200 articles produits le coût total est de 880.
3. Déterminer le nombre dérivé de cette fonction coût en 200 .
Le nombre dérivé de la tangente est égal au coefficient directeur f'(a) . On peut le calculer graphiquement en utilisant f'(a) =
y/;)x = 1,4/1 = 1,4 .Le nombre de dérivé de cette fonction coût en 200 est égal à 1,4 .
4. On sait de plus que C(201) = 881,39 .
a. Calculer C(201)-C(200).
On sait que C(201) = 881,39 et C(200) = 800, remplaçons maintenant par les égalités de ceux ci, on a :
881,39-800 = 1,39.
Le résultat obtenu pour C(201)-C(200) est 1,39 .
b. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question 3 . ( On appelle coût marginal au rang 200 le coût 201e article. Une valeur approchée de ce coût est donnée par le nombre dérivé de la fonction C en 200, c'est-à-dire C'(200). )
On obtient un résultat très proche entre la question 3 et 4a.
5.Comparer graphiquement le coût du 201e article avec celui du 401e article.
Le coût du 201e article coûte plus cher que le 401e article .
Merci pour vos lectures .