Dérivation encore et encore

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maion02
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dérivation encore et encore

par maion02 » 29 Déc 2006, 14:53

re bonjour et bien voilà petit exercice intitulé " pour prendre des initiatives "

Dans le repère ( 0; i, j ) on trace les trois droites d 1 , d2 , d3 d'équations respectives y= x , y= -5x +3 et 7x - y - 9 =0

Checher s'il existe une parabole tangente à la fois à ces trois droites et en donner alors une équation.

Merci pour votre aide :++:



maturin
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par maturin » 29 Déc 2006, 15:13

alors ça te fait un beau système tout ça :)

alors de manière générale:
un parabole d'équation y=ax²+bx+c est tangeante à la droite y=px+q au point x0,y0
ssi le point x0,y0 appartient à la droite et à la parabole et les pentes de ta parabole et de ta droite sont égales

c'est à dire
ssi ax0²+bx0+c=px0+q et 2ax0+b=p
ssi ax0²+bx0+c=px0+q et x0=(p-b)/2a (tu as bien a différent de 0 car sinon ce n'est plus une parabole mais une droite)

donc une parabole est tangeante à une droite ssi a((p-b)/2a)²+b(p-b)/2a+c=p(p-b)/2a+q
que tu peux réécrire en multipiant tout par 4a:
(p-b)²+2b(p-b)+4ac=2p(p-b)+4aq
(p-b)(p-b+2b-2p)+4ac-4aq=0
-p²+2pb-b²+4ac-4aq=0


tu écris tes équations avec les différents p et q:
(p,q) prends les valeurs (1,0) (-5,3) et (7,-9)
donc ça te fait:
(E1) -1+2b-b²+4ac=0
(E2) -25-10b-b²+4ac-12a=0
(E3) -49+14b-b²+4ac+36a=0

si tu fais E1-E2 et E1-E3 ca donne 2 equations à 2 inconnues tu trouveras a et b
après tu prends E2 ou E3 pour retrouver c.

maion02
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...

par maion02 » 29 Déc 2006, 15:20

c'est quoi x0? et y0?

maturin
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par maturin » 29 Déc 2006, 15:26

ben c'est dans le cas général x0,y0 sont els coordonnées du point de tangeance entre ta droite y=px+q et ta parabole y=ax²+bx+c
y0=px0+q et y0=ax0²+bx0+c car le point de tangeance doit être à la fois sur ta parabole et sur ta droite.
2ax0+b c'est la pente de ta parabole en x0 et p c'est la pente de ta droite. Pour qu'il y ait tangeance il faut que ta parabole et ta droite ait la meme pente donc p=ax0+b

maion02
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par maion02 » 29 Déc 2006, 15:36

faut y aller petit à petit avec moi , je ne comprend pas d'un coup lol

lexot
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par lexot » 29 Déc 2006, 16:26

Bonjour

Essaie cette méthode

L'équation de la parabole est : a+bx+c

Cette parabole est tangente à d1 d'équation y=x, donc :

a+bx+c = x ou a+x(b-1)+c = 0

On doit trouver une solution double car l'intersection de ces 2 courbes ne présente qu'un point commun, donc delta = 0

-4ac = 0 ou -2b-4ac+1 = 0

On procède de la même manière pour chacune des tangentes et on trouve 3 équations à 3 inconnues (a, b, et c)
S = {3;-5;3}

L'équation de la parabole est : 3-5x+3

Cordialement

maion02
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par maion02 » 29 Déc 2006, 16:42

a+bx+c = x ou a+x(b-1)+c = 0

pourquoi ( b-1)
désolé j'essaye de comprendre ...

maturin
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par maturin » 29 Déc 2006, 16:45

et en utlisant la méthode de lexot qui est bien aussi mais faut connaitre tu arrive aussi au résultat générale.
ax²+bx+c=px+q doit avoir une seule solution
donc le discriminant de ax²+(b-p)x+(c-q)=0 doit être nul

donc ax²+bx+c tangeant à px+q ssi (b-p)²-4a(c-q)=0

c'est plus simple que de passer par x0, y0 mais il faut savoir que la tangeance est équivalent à la solution double :)

maturin
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par maturin » 29 Déc 2006, 16:47

a+bx+c=x
ssi a+bx+c-x=0
ssi a+(b-1)x+c=0

suffit de faire passer le x de l'autre côté, c'était pas compliqué :id:

maion02
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par maion02 » 29 Déc 2006, 16:49

bon faisons simple en 1ère S c'est quoi la meilleur méthode que peut attendre un prof ???? lol

maturin
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par maturin » 29 Déc 2006, 18:01

ben ça dépend de ce que tu as vu en cours.
Si t'es en première S je suis pas sûr que ça te parle ou que ce soit évident pour toi qu'une parabole tangeante à une droite signifie le discriminant de la différence est nul.

La définition de la tangeance que tu as du voir c'est la tangeance en un point (x0,y0) que j'ai mis dans ma première réponse (les 2 courbes passent par le point (x0,y0) et y ont même pente)

tu reprends donc ma première réponse :we:

maturin
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par maturin » 29 Déc 2006, 18:05

après si tu veux pas travailler dans un cas général au lieu de travailler avec une droite quelconque px+q tu appliques 3 fois le raisonnement avec les 3 droites de l'énoncé.

Au final quel que soit la méthode utilisée tu dois faire 2 étapes:
1ere étpae: interpréter ce que veux dire ta parabole tangeante aux 3 droites et avec ça tu dois tomber sur le système de 3 équations à 3 inconnues (E1) à (E3) que j'ai écris.

2eme étape : résoudre ce système, je t'ai donné une méthode pour le résoudre en te ramenant à un système à 2equation 2 inconnues.

maion02
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par maion02 » 29 Déc 2006, 18:06

pô problème merci encore de ton aide ... :we: :we: :we:

 

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