Dérivation des fonctions sinus et cosinus

[rainbow67]

Bonjour à Tous :we:
Voila la deuxième partie de mon DM :

Le but de cette partie est de faire une conjecture sur les limites des fonctions.
f(h)=sinh/h et g(h)= (cos h - 1)/h quand h tend vers 0 (h>0).

1) Calculer les valeurs de la fonction f (à l'aide de la calculatrice) npour h positif et proche de 0, par exemple: 0.1;0.05;0.02;0.01;etc...]
Quelle conjectures peut-on faire sur f(h) lorsque h tend vers 0 par valeurs positives?

2) Soit h un réel de l'intervalle ]0;/2[ et M le point du cercle trigonométrique tel que l'angle ( vecteur OI, vecteur OM) soit de mesure h.
a) Exprimer en fonction de h, les distances OC,OS, et IT, et les aires des triangles OIM, OIT, et du secteur angulaire IOM.
b) En déduire que sin h < h < tan h.

3) a) Déduire de la relation précédente que: pour 0 < h < Pi/2 , on a cos h < f(h) < 1.
Quel argument intuitif peut-on utiliser pour en déduire la limite de f(h) en 0.

b) Vérifier que, pour 0 < h < /2, on a :
1/(1+ cos h) (sin h/h)²=(1-cosh)/h²
En déduire que: lim (1-cos h)/h²= 1/2
h->0
En déduire la limite de g(h) en 0.


A l'aide de la figure présente dans l'énoncé, je n'ai eu aucun problème à faire les 2 premières questions. Mais je suis bloquée à la question 3)a) :hum: Comment peut-on déduire de sinh < h < tanh que cosh < f(h) < 1 ?

Merci de votre aide !

[phryte]

Bonjour.
sinh < h < tanh --> sin(h)/h < 1 (en divisant par h)

sinh < h < tanh --> h < sin(h)/cos(h) --> sin(h)/h > cos(h)
....

[rainbow67]

Merci pour votre aide :we:

J'en suis maintenant à la question 3)b, j'ai prouvé que1/(1+ cos h) (sin h/h)²=(1-cosh)/h² et j'en ai deduis lim (1-cos h)/h²= 1/2; mais je n'arrive pas à en deduire la limite de g(h) en 0. :hein:

[rainbow67]

Personne pour m'aider :triste:

[libertad]

Bonjour,

Peut être que tu arriveras à conclure en utilisant le fait que