Dérivation assez fastidieuse ! Besoin d'aide !

[Soliine]

Bonjour à tous,
Dans mon devoir de maths, il y a une fonction à dériver mais je me suspecte d'avoir faire des erreurs de calculs, alors si un as des dérivations pouvait y jeter un petit coup d’œil, je lui en serais reconnaissante. Merci d'avance
f(x)=cos(2πt) + √ (9-sin^2(2πx))
 
Ensuite il faudra effectuer la dérivée de la dérivée !


1) Dérivée de f(x)

Donc f'(x) = -2π sin(2πx)+(( 4π cos(2πx)sin(2πx)) / (2√(9-sin^2(2πx)))
               = -2π sin(2πx) + ((4π cos(2πx)sin(2πx)) / (6-2sin(2πx))

Ensuite j'ai mis les 2 termes au même dénominateur pour tenter de simplifier mais je ne sais si c'est utile, je vous mets simplement le résultat car c'est assez fastidieux à recopier !

f'(x) = (-12π sin(2πx) +4π sin^2 (2πx) - 4π cos(2πx)sin(2πx)) / ( 6-2sin(2πx))

Ensuite je ne sais pas si il faut factoriser le numérateur par sin(2πx) ou non ??

2) Dérivée de f'(x)

 j'arrive à un résultat à rallonge très compliqué du type :
f''(x) = (-4πcos(2πx) + (24πsin^2(2πx)-24πcos^2(2πx)-16πsin^3(2πx)+ 8cos^2(2πt)+ sin(2πx)+ 4π^2cos^2(2πx)sin(2πx)) / (6-2sin(2πt))^2
Bref ça semble faux ...

[Carpate]

f(x)=cos(2πx) + √ (9-sin^2(2πx))

est de la forme dont la dérivée est


etc
...

[Soliine]

Merci beaucoup pour votre réponse !
Par contre je ne comprends pas comment fait-on pour dériver -sin^2(2πx) ! Car si je ne me trompe pas il s'agit d'une fonction de la forme u^2 donc la dérivée est 2u'u avec u=-sin(2πx) et u'=-2πcos(2πx). Ce qui donne u'(x) =-4πcos(2πx)sin(2πx) or cela me semble différent de votre résultat. Pouvez vous m'expliquer comment il faut procéder s'il vous plaît ??

[Lostounet]

Bonjour à tous,
Dans mon devoir de maths, il y a une fonction à dériver mais je me suspecte d'avoir faire des erreurs de calculs, alors si un as des dérivations pouvait y jeter un petit coup d’œil, je lui en serais reconnaissante. Merci d'avance
f(x)=cos(2πt) + √ (9-sin^2(2πx))
 

Bonjour. La variable est bien x je crois (pas de dérivées partielles ...)

f(x)=cos(2πx) + √ (9-sin^2(2πx))
= cos(2πx) + √ (8 + 1 -sin^2(2πx))
= cos(2πx) + √(8 + cos^2(2πx))


( cos(2πx))' = -2πsin(2πx)

La dérivée de √(8 + cos^2(2πx)) est u'/2√u avec u(t) = 8 + cos^2(2πx)

u'(t) = 0 + 2gg'
avec g = cos(2πx)
g' = -2πsin(2πx)

Ce qui totalise u' = -4πcos(2πx)sin(2πx)

finalement, la dérivée de √(8 + cos^2(2πx)) est (-2πcos(2πx)sin(2πx))/√u en simplifiant par 2

[Soliine]

Oh oui d'accord ! Merci beaucoup, en fait je n'avais juste pas remarqué la simplification par 2.
Du coup -2πcos(2πx)sin(2πx) = -sin(4πx) ??
Et autre question est-ce nécessaire de simplifier le résultat final en mettant les deux termes au même dénominateur étant donné que je dois effectuer la dérivée de la dérivée ??

[Lostounet]

Vaut mieux pas mettre sur le méme dénominateur :p

-2πcos(2πx)sin(2πx) = -sin(4πx) ??

Plutot: -2πcos(2πx)sin(2πx) = -πsin(4πx)

[Lostounet]

On trouve:

[Soliine]

Oulala je n'arrive absolument pas à ce même résultat, il faut bien partir -2sin(2πx) + (-πsin(4πx) / √ (9-sin^2(2πx) en considérant le 2ème terme comme une fonction sous la forme u / v ??

[Soliine]

Et j'aurais une autre question ! Enfin de déterminer les positions d'un point en lesquelles la vitesse est nulle, j'ai résolu f'(x)=0 ce qui me fait arriver à sin (2πx) = 4 or je ne sais pas comment m'y prendre ensuite.

[Ben314]

Salut,
Déjà, une équation de la forme sin(?)=4 ne risque pas d'avoir de solution vu que le premier truc qu'on apprend concernant le sinus d'un réel, c'est que c'est compris entre -1 et 1.
Ensuite, tu t'es forcément gouré dans tes calculs vu qu'un truc complètement évident, c'est qu'une fonction périodique (et dérivable) ben sa dérivée doit forcément s'annuler.

Sinon, en ce qui concerne tout les calculs de dérivée successives, tu aurais nettement intérêt à écrire que vu que se dérive plus simplement.

[Soliine]

Oui en effet je n'ai pas trop réfléchi pour le coup, je le savais en plus. Alors j'ai revu mes calculs : dans un premier temps j'ai mis les deux termes au même dénominateur, ensuite j'ai factorisé le numérateur par 2πsin ce qui me permet d'obtenir un produit de facteur.
Ainsi on a soit 2πsin(2πx)= 0 ou -3+sin(2πx)-cos(2πx)=0 ce qui nous permet de déterminer t=0 ou t=0,5 car sin(2πx)-cos(2πx)=3 n'a pas de solutions ! Est-ce correct ??
D'autre part, n'y aurait-il pas une autre méthode pour déterminer les extremums d'une fonction à part la dérivation ?? Car je n'arrive vraiment pas à effectuer f''(x)

[Black Jack]

Dans l'énoncé, le "t" est volontaire ou bien c'est une erreur ?

f(x)=cos(2πt) + √ (9-sin^2(2πx))

[Soliine]

Oh oui excusez-moi c'est en effet une erreur de frappe de ma part

[Black Jack]

f'(x) = -2.Pi.sin(2.Pi.x) - 2*Pi.sin(2Pi.x).cos(2Pi.x)/V(9 - sin²(2Pi/x))

f'(x) = 0 pour sin(2.Pi.x) = 0, soit pour x = k/2

et pour : cos(2Pi.x)/V(9 - sin²(2Pi/x)) = 1

cos²(2Pi.x) = 9 - sin²(2Pi/x)
1 = 9 --> impossible.

Donc f'(x) = 0 pour x = k/2 (avec k dans Z)

[Soliine]

D'accord ! Merci beaucoup, mon résultat semble juste alors
Et seul un tableau de variations de f'(x) peut nous permettre de déterminer le maximum de cette même fonction ?