Dérivabilité d'une intégrale

[flo22]

Bonsoir.
Je dois montrer que F est dérivable sur [0;+oo[.

F(x)=Intgr. de x² à 4x² ((exp(-t)/t).dt), x>0
F(0)= 2ln(2)

Il faut donc que je démontre que lim ( (F(x+h)-F(x))/h ) quand h tend vers 0 est un réel.

Je sais déjà que -3x²
Comment m'y prendre ?

[neibaf]

Bonsoir,

je te propose un truc...

En posant X=x², on a : qui sont deux intégrales fonction de la borne sup, et tout va bien, donc des fonctions dérivables (composées de fonctions dérivables...).

Mais peut être que cela ne te plait pas beaucoup...

[alavacommejetepousse]

Bonsoir.
Je sais déjà que F est dérivable en 0+,

Bonjour

La dérivabilité en 0 est le seul point délicat.
La dérivabilité en 0+ n'a pas grand sens.

L'encadrement que tu montres permet de montrer la dérivabilité en 0

divise l'encadrement par x et utilise le théorème des gendarmes.

Pour la dérivabilité en x non nul ce que propose neibaf est presque correct

mais il ne faut pas prendre 0 comme borne du bas car les fonctions à intégrer n 'existent pas en 0. Prends 1 par exemple .

[flo22]

OK merci je vais essayer. Oui la dérivabilité en 0 je l'ai déjà faite, ça m'a pas posé de problème.
Merci !

Mais je ne vois pas pourquoi F(x) est égale à l'expression que tu m'a donnée.
De plus, si une fonction est dérivable sur un intervalle I, alors son intégrale est dérivable à condition que les bornes d'intégration appartiennent à I ? C'est vrai ça ? (on n'a pas fini le cours sur les intégrales)

[alavacommejetepousse]

sur R+* on pose h(x) = exp (- x) /x ; h est continue soit H une primitive de h sur R+*

F(x) = H(4x^2) - H(x^2) permet de conclure que H est dérivable comme somme et composée.