Dérivabilité d'une fonction définie par parties

[Tnak10]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien ce que veut l'énoncé de mon devoir (comme c'est noté je ne mets pas l'énoncé original et je me contente de "généraliser").
Soit une fonction f définie par la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1] et par la fonction h sur l'intervalle ]1, 2], on me demande d'étudier la dérivabilité de la fonction f. Les deux fonctions composantes sont par définition dérivables sur leur intervalle respectif, pour que f soit dérivable il faut donc que la limite de g en 1 soit identique à la limite de h en 1 (continuité) et que la limite de la dérivée de g en 1 soit identique à la limite de la dérivée de h en 1 ?

Pouvez-vous me dire si j'ai bien compris ?
Merci.

[Ben314]

Salut,
Vu qu'on est au niveau Lycée, je pense qu'on peut considérer que c'est tout bon comme raisonnement.
En fait le premier truc que tu propose de vérifier, c'est effectivement que la fonction f est bien continue en 1 et le deuxième que tu propose de vérifier, c'est que la dérivée de f est elle aussi continue en 1.

A un niveau plus élevé, tu verra qu'il existe des fonction "bizarres" qui sont dérivables, mais dont la dérivée n'est pas continue et, évidement, avec de telles fonction, un raisonnement comme celui que tu fait n'est plus valable.
Mais je ne pense pas qu'au niveau Lycée, on ne parle pas de ces cas "bizarres" et que ce n'est pas plus mal.

[chan79]

Soit une fonction f définie par la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1] et par la fonction h sur l'intervalle ]1, 2], on me demande d'étudier la dérivabilité de la fonction f. Les deux fonctions composantes sont par définition dérivables sur leur intervalle respectif

Pouvez-vous me dire si j'ai bien compris ?

salut
g est dérivable sur [0;1]
J'aurais dit qu'il faut montrer que:
la limite de h(x) quand x tend vers est égale à g(1) (continuité)
et que
h , une fois prolongée par continuité en posant h(1)=g(1), est dérivable à droite en 1, et que cette dérivée est égale à g'(1)
exemple très simple:
g(x)=1 si x appartient à [0;1]
h(x)=x²-2x+2 si x appartient à ]1;2]

[Tnak10]

Bonsoir,

Merci pour ces réponses, cela m'a permis de comprendre (la jonction des deux dérivées peut avoir un point anguleux du moment qu'elles sont continues ensemble).