Dérivabilite fonction exponentielle

par **Leaaam** » 28 Jan 2013, 18:05

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice sur lequel je bloque :
F est la fonction définie sur ]0;10] par : f(x)= ((-0,25x+1)/x) * exp(x)
Il faut déterminer f"(x) pour en déduire la convexité
J'ai réussis (je pense) a trouver f'(x)=exp(x) * (-1/x^2)
Mais je ne suis pas sûre, de plus je n'arrive pas à trouver f''(x)
Merci d'avance pour votre aide

par **herve67** » 28 Jan 2013, 18:33

Salut, tu pourrais détailler f'(x) pour voir où est l'erreur car il y en a une...

Petit rappel, f(x) est sous forme u*v avec u= exp(x) et v=(-0.25x+1)/x soit v est sous forme w/z avec w= -0.25x+1 et z=x .... ça peut aider pour dériver f(x)

par **Leaaam** » 28 Jan 2013, 18:41

Ahhhh oui..
Donc j'ai**(exp(x))^2 * (2x/x^4 - 1/x^2) pour f' c'est bien ça ?

par **herve67** » 28 Jan 2013, 19:06

Leaaam a écrit:Ahhhh oui..
Donc j'ai**(exp(x))^2 * (2x/x^4 - 1/x^2) pour f' c'est bien ça ?

Je ne vois pas comment tu arrives à ce résultat :mur: pour ça que je demandais les étapes de ton calcul...

Je trouve pour f(x) = e^x [ (-0.25x+1) / x ]

f'(x) = e^x [ (-0.25x+1) / x ] + e^x [ (-1) / (x²) ] avec (u*v)'=u'*v + u*v' avec v' = (w'*z-w*z')/(z²)
f'(x) = e^x [ (-0.25x² + x - 1) / (x²) ] là on a factorisé

Pour f"(x) c'est la même chose, tu as f'(x) sous la forme u*v :zen:

par **Leaaam** » 28 Jan 2013, 19:21

herve67 a écrit:Je ne vois pas comment tu arrives à ce résultat :mur: pour ça que je demandais les étapes de ton calcul...

Je trouve pour f(x) = e^x [ (-0.25x+1) / x ]

f'(x) = e^x [ (-0.25x+1) / x ] + e^x [ (-1) / (x²) ] avec (u*v)'=u'*v + u*v' avec v' = (w'*z-w*z')/(z²)
f'(x) = e^x [ (-0.25x² + x - 1) / (x²) ] là on a factorisé

Pour f"(x) c'est la même chose, tu as f'(x) sous la forme u*v :zen:

Ahhhh je viens de comprendre...enfait j'ai dérivée (-0,25x+1)/x mais quand j'ai fait u*v j'ai rederiver v, je suis partit dans bien trop compliquer, merci!!
Donc pour f''...
F"(x)= e^x [(-0,25x^2+x-1)/(x^2)] + e^x[(-1,25x^3+0,25x^4)/(x^4)]

par **herve67** » 28 Jan 2013, 19:35

Leaaam a écrit: F"(x)= e^x [(-0,25x^2+x-1)/(x^2)] + e^x[(-1,25x^3+0,25x^4)/(x^4)]

Attention tu t'es encore trompé !

f"(x) = e^x [ [(-0.5x+1)x² - (-0.25x²+x-1)*2x ] / [ (x²)² ] ] + e^x [(-0.25x²+x-1)/(x²)]
f"(x) = ...

tu auras un résultat sous la forme
f"(x) = e^x [ u/(x^4) ] + e^x [ v/(x²) ]

tu factorise et met tout sous le même dénominateur et simplifie, ça sera plus simple pour la suite de ton exo

par **Leaaam** » 28 Jan 2013, 20:08

Donc si j'ai bien compris
F''(x)= e^x [ (0,25x^4 +0,5x^3 -1,5x^2 + 2x)/x^4 ]

par **herve67** » 28 Jan 2013, 20:20

Je viens de voir que j'avais oublié un ² à -0.25x² donc ça donne :
f"(x)=e^x [ [(-0.5x+1)x² - (-0.25x²+x-1)*2x ] / [ (x²)² ] ] + e^x [(-0.25x²+x-1)/(x²)]
f"(x)=e^x[ (-0.5x^3+x²+0.5x^3-2x²+2x) + (-0.25x^4+x^3-x²)] / [x^4] ]
f"(x)=e^x[ (-0.25x^4+x^3-2x²+2x) / (x^4) ]
f"(x)=e^x[ [(-0.25x²+x-2)/(x²)]+2/(x^3)] on simplifie par x² mais cette étape n'est pas obligatoire si tu t'en sors mieux avec celle du dessus

par **Leaaam** » 28 Jan 2013, 20:36

herve67 a écrit:Je viens de voir que j'avais oublié un ² à -0.25x² donc ça donne :
f"(x)=e^x [ [(-0.5x+1)x² - (-0.25x²+x-1)*2x ] / [ (x²)² ] ] + e^x [(-0.25x²+x-1)/(x²)]
f"(x)=e^x[ (-0.5x^3+x²+0.5x^3-2x²+2x) + (-0.25x^4+x^3-x²)] / [x^4] ]
f"(x)=e^x[ (-0.25x^4+x^3-2x²+2x) / (x^4) ]
f"(x)=e^x[ [(-0.25x²+x-2)/(x²)]+2/(x^3)] on simplifie par x² mais cette étape n'est pas obligatoire si tu t'en sors mieux avec celle du dessus

Ça roule merci beaucoup!!

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