Demontrer une propriété pas récurrence

[annasonne]

Bonjour/Bonsoir
J'aimerai un peu d'aide pour résoudre cet exercice
(Un) n € N*
U1=U2=1
Un+2=Un+1+Un

Démontrer par récurrence:

1)U1²+U2²+...+Un²=Un*Un+1

2)Un=(1/Racine5)(((1+Racine5)/2)n-((1-Racine)/2)n)

1)Démontrer la propriété au rang U1:
U1²=U3²-U2²
Je vois pas trop comment trouver U3

[L.A.]

Bonsoir,

Pour 1), quelle est la forme de la propriété à démontrer pour le rang 1 ?

Pour 2), il s'agit de prouver que la formule donnée est bien celle de la suite de fibonacci définie par récurrence

[annasonne]

1) démontrer que U1²=U1*U2 Non?

[L.A.]

1) démontrer que U1²=U1*U2 Non?

Oui, et comme on connait les valeurs qui interviennent ... :id:

L'initialisation terminée on passe à l'hérédité.

[annasonne]

pour voir si j'ai bien compris:
U1=1
or

Démontrer la prop au rang p:



a démontrer

heu ensuite là je vois pas

[L.A.]

Il n'es pas à montrer :

Un² = UnUn+1

mais

U1² + U2² + ... + Un² = UnUn+1

Enfin tu l'as dit toi même... :triste:

[annasonne]

ah oui exact :mur:

[L.A.]

Bon alors pour l'hérédité au rang n:

Quelle est la supposition ?
Que doit on démontrer à partir de là ?

[annasonne]

mais je crois pas que c'est de là qu'on doit partir

[L.A.]

Non, c'est justement ce qu'on souhaite démontrer, en supposant que la prop. au rang inférieur (càd p) est vraie.

Je te repose la question du message précédent, qui appelle 2 parties de réponse.

[annasonne]

J'ai pas vraiment compris ce qui fallait faire en cours, alors j'ai essayais d'appliquer ce qu'on a fait...

[L.A.]

Reprenons l'hérédité alors.

Je suppose que la propriété au rang p :

U1² + ... + Up² = Up*Up+1

est vraie, et je doit montrer que la propriété au rang p+1 :

U1² + ... + Up² + Up+1² = Up+1*Up+2

est vraie aussi.

OK ?

[annasonne]

oui on s'arrête jusqu'au rang Un+1 au lieu de Un

[L.A.]

C'est grossomodo ça.

Donc on part de Sp = Up*Up+1

(j(ai posé Sp = somme des carrés de (Un) = U1²+...+Up²)

et on doit montrer à partir de là :

Sp+1 = Up+1*Up+2

Constatons que Sp+1 = Sp + Up+1²

Je te laisse finir...

[annasonne]

Ok je verrais ça demain matin, sinon j'aurai pas assez d'heure de sommeil merci en tout cas de donner de ton temps =)

[L.A.]

Ok je verrais ça demain matin, sinon j'aurai pas assez d'heure de sommeil merci en tout cas de donner de ton temps =)

C'est un plaisir...

[annasonne]

Bonjour, je dois démontrer par récurrence que

j'ai réussi à démontrer au rang 1 mais je ne vois pas du tout comment faire au rang P. Quelqu'un peut-il m'aider?

[L.A.]

Rebonjour.

Il faut donc vérifer que la formule Fn que tu proposes est bien celle de la suite de Fibonacci Un définie par récurrence.

Pour cela on doit vérifer que :

F0 = U0
F1 = U1

et pour tout n Fn+2 = Fn+1 + Fn

Mais ici on ne procède pas par récurrence. on montre directement la formule au rang n, sans supposer quelle est vraie au rang (n-1).
On part de Fn+1 + Fn, et on montre que c'est bien égal à Fn+2.

[annasonne]

Peut -on dire???

[L.A.]

Ben presque.
ce que tu dis est vrai si p=n et sans oublier le 1/V5 devant.

Mais où veux-tu en venir ?