Démontrer une inégalité

[Pharos]

Bonjour,
je dois montrer que 0≤x≤π/2sin(x) sur l'intervalle [0,π/2]
Je pensais commencer en posant g(x)=π/2sin(x)-x
g'(x)=-π/2cos(x)-1
g'(x)=0⟺cos(x)=2/π
Mais après je ne sais pas trop comment interpréter ce résultat...
Pouvez vous m'aider svp ?

[mathelot]

bonjour,
le sinus est une fonction concave sur

En particulier, la courbe du sinus est située au dessus de sa corde , segment de droite
qui joint les points de coordonnées et d'équation

on a donc:
sur

[Pharos]

Mais comment démontrer mon inégalité d'origine (0≤x≤(π/2)sin(x)) avec ce que vous me proposez ?
Je ne peux pas la résoudre en utilisant la méthode de mon premier post ? (car 0≤x sur [0;π/2] est trivial)

[Black Jack]

Mais comment démontrer mon inégalité d'origine (0≤x≤(π/2)sin(x)) avec ce que vous me proposez ?
Je ne peux pas la résoudre en utilisant la méthode de mon premier post ? (car 0≤x sur [0;π/2] est trivial)

Bonjour,

Erreur de signe dans ta dérivée ...

g(x) = π/2 * sin(x)-x
g'(x) = π/2 * cos(x)-1
g''(x) = -π/2 * sin(x) <= 0 sur [0 ; Pi/2] --> g' est décroissante.

g'(x) = 0 pour cos(x) = 2/Pi

Et donc :
g'(x) > 0 pour x dans [0 ; arccos(2/Pi) --> g est croissante
g'(x) = 0 pour x = arccos(2/Pi)
g'(x) < 0 pour x dans ]arccos(2/Pi) ; Pi/2] --> g est décroissante

g(0) = 0
g(Pi/2) = 0

Des 5 lignes précédentes, on peut conclure que g(x) >= 0 sur [0 ; Pi/2]

et donc π/2 * sin(x)-x >= 0 sur [0 ; Pi/2]

x <= π/2 * sin(x) sur [0 ; Pi/2]

et forcément 0 <= x puisque c'est imposé par l'énoncé (par le ... sur l'intervalle [0,π/2])

Et donc : 0 <= x <= π/2 * sin(x) sur [0 ; Pi/2]

[mathelot]

Mais comment démontrer mon inégalité d'origine (0≤x≤(π/2)sin(x)) avec ce que vous me proposez ?
Je ne peux pas la résoudre en utilisant la méthode de mon premier post ? (car 0≤x sur [0;π/2] est trivial)

en multipliant mon inégalité par

[mathelot]

Si tu fais un dessin , en appelant A le point de coordonnées
écris l'équation de la droite (OA).
Maintenant , comme la fonction sinus est concave sur l'intervalle ,
la courbe du sinus est au dessus de la corde [O;A]
En traduisant ça avec des "x" , on obtient ton inégalité

[Pharos]

Mais comment démontrer mon inégalité d'origine (0≤x≤(π/2)sin(x)) avec ce que vous me proposez ?
Je ne peux pas la résoudre en utilisant la méthode de mon premier post ? (car 0≤x sur [0;π/2] est trivial)

Bonjour,

Erreur de signe dans ta dérivée ...

g(x) = π/2 * sin(x)-x
g'(x) = π/2 * cos(x)-1
g''(x) = -π/2 * sin(x) <= 0 sur [0 ; Pi/2] --> g' est décroissante.

g'(x) = 0 pour cos(x) = 2/Pi

Et donc :
g'(x) > 0 pour x dans [0 ; arccos(2/Pi) --> g est croissante
g'(x) = 0 pour x = arccos(2/Pi)
g'(x) < 0 pour x dans ]arccos(2/Pi) ; Pi/2] --> g est décroissante

g(0) = 0
g(Pi/2) = 0

Des 5 lignes précédentes, on peut conclure que g(x) >= 0 sur [0 ; Pi/2]

et donc π/2 * sin(x)-x >= 0 sur [0 ; Pi/2]

x <= π/2 * sin(x) sur [0 ; Pi/2]

et forcément 0 <= x puisque c'est imposé par l'énoncé (par le ... sur l'intervalle [0,π/2])

Et donc : 0 <= x <= π/2 * sin(x) sur [0 ; Pi/2]

Aie oui l'erreur de signe en dérivant sin...
Merci beaucoup pour l'aide !!!

[Pharos]

Si tu fais un dessin , en appelant A le point de coordonnées
écris l'équation de la droite (OA).
Maintenant , comme la fonction sinus est concave sur l'intervalle ,
la courbe du sinus est au dessus de la corde [O;A]
En traduisant ça avec des "x" , on obtient ton inégalité

D'accord je vois !
Merci beaucoup !

[mathelot]

La droite a pour équation

sur l'intervalle , elle est située en dessous de la courbe du sinus
on a donc
pour x dans

en multipliant par les deux membres de l'inégalité, on trouve le résultat demandé