Démontrer que deux longteurs sont égales avec tangeantes

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 16:52

Bonjour, tout d'abord voici the problème :

B et C sont deux points distincts d'un cercle de centre 0 tels que [BC] n'est pas un diamètre.
Les tangentes au cercle B et C se coupent en A.
a) Démontrer que AB=AC
b) Démontrer que la droite (OA) est la médiatrice du segment [BC] et la bissectrice de l'angle BAC.

Je n'ai aucune mesure donc je pense que je vais devoir jouer avec les médianes, hauteur, mediatrice, bissectrice et tangeante.
Il faut que je démontre que AB=AC dont que la longeur AB est égal à la longueur AC mais c'est totalement normal puisque les deux tangeantes se croisent en un point, je ne vois pas comment démontrer ça plus clairement.
Merci d'avance pour votre aide :)

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 17:15

Je sais qu'il y a deux triangles rectangles OAB et OAC et je voudrais passer par cette piste pour prouver la suite mais je ne sais pas comment prouver qu'ils sont rectangles (je le vois simplement sur la figure et je n'ai pas de mesures donc pas de théoreme de pythagore).

par **XENSECP** » 07 Jan 2009, 18:24

Je pense qu'avec le thm de l'angle au centre il y a moyen de conclure que ABC est isocèle (par rapport aux angles de bases) ^^

par **Help** » 07 Jan 2009, 18:30

L'approche de 000 par les triangles rectangles me semble assez directe.

000 : si tu repenses à ce qu'est une tangente à un cercle, tu auras facilement l'angle droit que tu recherches

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 18:30

Pas bête du tout l'histoire du triangle isocèle mais encore faut-il que je prouve qu'il est isocèle (c'est ce que je cherche en fait) et je ne vois pas comment faire.
Avec les angles tu dis ? Je n'ai aucune mesure :(

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 18:33

Je n'avais pas vu ton message Help.
Help : je vais essayer de continuer avec mon histoire de triangles rectangle. Je ne vois pas comment prouver que les deux angles sont droits et puis si j'arrive à le prouver je vois pas ce que je peux démontrer après. Je suis perdu là :s

par **phryte** » 07 Jan 2009, 18:37

Bonjour.
Tu appliques Pythagore...

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 18:40

Je ne vois pas comment appliquer Pythagore dans la mesure où je n'ai aucune longueur

par **oscar** » 07 Jan 2009, 18:43

Voici une figure Change certaines lettres

http://img145.imageshack.us/my.php?image=tangentesuncerclekl7.gif

par **phryte** » 07 Jan 2009, 18:48

Ma^2=
Mb^2=

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 18:49

Ah, je n'avais pas vu ces deux angles droits là.
Donc j'ai deux triangles rectangles ABO et ACO.

Sachant que les deux triangles ont leur hypoténuse en commun et que il se coupe en A : AB=AC. C'est ça ? :)

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 18:50

phryte a écrit:Ma^2=
Mb^2=

Théorème de pythagore ? J'ai aucune mesure

par **phryte** » 07 Jan 2009, 18:54

Sachant que les deux triangles ont leur hypoténuse en commun et que il se coupe en A : AB=AC. C'est ça ?

Oui c'est ça.
Donc :
MA^2= MG^2-R^2
MB^2=

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 19:09

Ah d'accord, voici ce que j'ai marqué :
a) Démontrons que AB=AC :
AOB et ACO sont deux triangles rectangles en O ayant pour hypothénuse le segment [AO]. Donc d'après le théorème de pythagore :
AB²=AO-BO
AC²=A0-CO

D'où AB=AC.

b) Démontrons que (OA) est médiatrice de [BC] et bissectrice de l'angle BAC :
Puisque AB=AC et que les points B et C se trouvent sur le cercle de centre O : AO est perpendiculaire à BC donc OA est la médiatrice de [BC].

La droite AO coupe BC en un point Z(je lui donne ce nom). ABZ et AZC sont deux triangles rectangles ayant comme hypoténuse la droite AZ donc AO coupe l'angle BAC en son milieu > donc c'est la bissectrice.

Voilà, est-ce ça ?

par **phryte** » 07 Jan 2009, 19:12

a) Démontrons que AB=AC : AOB et ACO sont deux triangles rectangles en O ayant pour hypothénuse le segment [AO]. Donc d'après le théorème de pythagore : AB²=AO-BO AC²=A0-CO

AB²=AO-BO AC²=A0-CO cela n'est pas homogène !!!
Tu devrais prendre la figure d'Oscar.

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 19:18

J'ai vu la figure d'oscar c'est pareil que ce que j'ai sur brouillons à part les noms des points et je ne vois pas comment faire autrement :/

par **phryte** » 07 Jan 2009, 19:47

Bon alors :
Donc :
MA^2= MG^2-R^2
MB^2= MG^2-R^2
donc MA = MB

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 19:56

Ah ok, j'ai compris ce que tu veux dire par homogène maintenant, je corrige :

Ah d'accord, voici ce que j'ai marqué :
a) Démontrons que AB=AC :
AOB et ACO sont deux triangles rectangles en O ayant pour hypothénuse le segment [AO]. Donc d'après le théorème de pythagore :
MA^2= MG^2-R^2
MB^2= MG^2-R^2

D'où AB=AC.

b) Démontrons que (OA) est médiatrice de [BC] et bissectrice de l'angle BAC :
Puisque AB=AC et que les points B et C se trouvent sur le cercle de centre O : AO est perpendiculaire à BC donc OA est la médiatrice de [BC].

La droite AO coupe BC en un point Z(je lui donne ce nom). ABZ et AZC sont deux triangles rectangles ayant comme hypoténuse la droite AZ donc AO coupe l'angle BAC en son milieu > donc c'est la bissectrice.

Voilà, est-ce ça ?

par **phryte** » 07 Jan 2009, 20:15

Démontrons que (OA) est médiatrice de [BC]

Je dirais : Le triangle AOB est le symétrique du triangle AOC par rapport à la droite AO donc AO est médiatrice du segment BC.

par **Anonyme** » 07 Jan 2009, 22:10

Merci beaucoup à tous !! !! !

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