Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

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KomandanFrakass
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Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par KomandanFrakass » 04 Oct 2021, 22:24

Bonjour,Bonsoir,

Mon professeur de mathématique nous a expliqué en classe qu'il fallait démontrer cette égalité (un+1=un+n) par des phrases, cependant je ne comprend pas très bien comment y arriver.
Voici les autres informations nécessaires:
-Soit n un entier naturel non nul. On considère n droites dans le plan, deux à deux sécantes, telles que trois quelconques d'entre elles ne sont pas concourantes.
On note Un le nombre de points d'intersection entre n telles droites. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a Un+1=Un+n.

Alors de mon coté j'ai "essayé" quelque chose mais ça n'a pas l'air très exact:
Un+1 signifie le nombre de points d'intersection en ajoutant une droite au n droite existante, étant donné que ajouté n droites ajoute aussi n points d'intersection à Un alors Un+1 est bien égale à Un+n.

Je suis conscient que faire des phrases en maths est important mais aussi difficile car chaque terme à son importance et j'aimerai de l'aide pour savoir si ma démonstration est correcte ou à l'inverse trouver la bonne phrase à rédiger.

Merci



lyceen95
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par lyceen95 » 05 Oct 2021, 00:21

Fais des phrases plus courtes, des phrases du type : Sujet Verbe Complément.
Eventuellement un peu plus longues que ça, mais guère plus. Sur le plan littéraire, ça ne vaut pas Proust ou Racine, mais on n'est pas là pour faire des belles phrases.
Sujet Verbe Complément.

Maintenant, sur le plan mathématique, je n'aime pas non plus. Commence par un autre exercice : Montrer que

Ici le te perturbe. Avec un cas particulier, tu vas mieux t'en sortir.

Dans un 2nd temps, il faudra bien sûr revenir au cas général.

Quand tu as un texte qui convient, avec des phrases très courtes, tu peux éventuellement adapter un peu, pour que ça soit un peu plus littéraire

beagle
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par beagle » 05 Oct 2021, 11:34

Je vais me faire de nouveaux amis.
j'ai des doutes sur le fait qu'apprendre les maths se fassent par la phrase.

Si la méthodologie de résolution de problème n'est pas enseignée, les phrases sont sans importance.
L'utilité des phrases serait de reformuler la méthodologie.
M'enfin!

Donc déjà on enseigne (ou non) qu'il faut commencer par dire ce que l'on recherche.
Alor la phrase peut etre triviale:
on cherche à démontrer que Un+1 = Un + n.
Mouais bof
On pourrait un peu mieux dire je pense,
"on cherche à exprimer Un+1 à partir de Un"

Ensuite le dénombrement c'est de la méthodologie ensembliste.
Inutile de se cacher derrieèe des mots:
en dénombrement c'est assez simple:
-je veux tout avoir = ne rien oublier (c'est grosso modo le A union B ici )
-mais je ne veux pas avoir de doublon = grosso modo A + B moins le A inter B.

Et là les phrases tombent toutes seules,
et avec la logique mathématique.
C'est pas le barratin qui fait le raisonnement,
c'est le support au barratin.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

GaBuZoMeu
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par GaBuZoMeu » 05 Oct 2021, 13:31

Il est important de s'exprimer de façon claire et concise quand on fait un raisonnement. Un raisonnement, ce n'est pas du baratin. On dit tout ce qu'il faut, et juste ce qu'il faut, de manière la plus explicite possible.

Ici, que faut-il exprimer ? Que l'ajout d'une droite à une situation où n droites sont déjà tracées ajoute bien n points d'intersection. Pour cela, on montre le rôle des hypothèses : droites sécantes deux à deux, pas trois droites concourantes.

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Ben314
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par Ben314 » 05 Oct 2021, 13:36

Salut,
Personnellement, ça :
KomandanFrakass a écrit:Un+1 signifie le nombre de points d'intersection en ajoutant une droite au n droite existante, étant donné que ajouté n droites ajoute aussi n points d'intersection à Un alors Un+1 est bien égale à Un+n.
ça me semble pas mal du tout modulo que c'est plutôt ". . . qu'ajouter UNE droite . . ." (en rouge).
Et il y a aussi, mais c'est plus "détail", les énormes fautes de grammaires du style "étant donné que ajouté n droites . . ." et les truc mal dit, comme "Un+1 signifie le nombre de points" où ce n'est pas qu'il signifie, mais qu'il est.

Et comme ça me semble plus que correct ce qui à été fait, je proposerais bien une solution possible, bref, moi j'aurais sans doute écrit un truc comme ça :
Si pour un entier n donné, on part d'une configuration avec n droites, donc avec Un points d'intersection, lorsque l'on rajoute une droite de plus, cette dernière coupe chacune des n droites déjà présente en un unique point car les droites sont supposées deux à deux sécantes. De plus ces points sont de nouveaux points d'intersection vu qu'on a aussi supposé que trois quelconques d'entre elles ne sont jamais concourantes. On a donc ainsi créé n nouveaux points d'intersection ce qui signifie qu'il y en a maintenant (U_n)+n et donc qu'on a bien U_(n+1)=(U_n)+n.

Remarque : On peut être tenté de ne pas écrire les deux phrases en bleue en considérant que c'est "sous entendu", mais c'est bien mieux de le faire pour bien montrer l'utilité des hypothèses faites dans l'énoncé.

EDIT : pas vu le message de GaBuZoMe avant de poster . . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

beagle
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par beagle » 05 Oct 2021, 13:39

et oui parce que toi , GBZM ,c'est clair que
A union B je rajoute n aux secant deux à deux au déjà connu Un qui n'a pas de raison d'avoir diminué (encore faut-il le dire)
j'enlève le A inter B , ici il est vide car pas trois concurrentes
= je rajoute n le maximum de points supplémentaires (car sinon c'est que j'ai deux points de secants entre deux droites si plus que n)
et je n'enlève rien à n car ici il n' y a pas de 3 concurrentes.

Et est tout aussi ensembliste ta façon GBZM de faire des bijections (et contrairement à tout ce que tu as cru j'ai toujours approuvé) une bijection, ben déjà j'aimerais avoir une surjection pour mettre le doigt sur tous les trucs à dénombrer,
et ensuite j'enlève les doublons pour avoir injection.

Le support au raisonnement tu le maitrises sans le dire par des notions ensemblistes.
Explicites ou implicites, elles sont là et premieres au barratin des phrases.

Enfin elles sont là ou pas justement il me semble...

PS:message croisé avec Ben314
et pas de désaccord avec GBZM et Ben314 me semble-t-il sur ce que je dis.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

KomandanFrakass
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par KomandanFrakass » 06 Oct 2021, 01:48

Bonjour,Bonsoir,

Je n'ai pas pu répondre plutôt mais merci de vos réponses, et Ben314 je pense que ce que tu viens de dire comme démonstration est celle attendue.

Voici ce que j'avais noté sur ma feuille avant ta réponse(j'ai recommencé la démonstration car celle que j'ai citée plus haut ne me convenant pas):

Un+1 est le nombre de points d'intersection entre n+1 droites. Un est le nombre de points d'intersection entre n droites. Ajouter une droite à Un ajoute également n intersections car la nouvelle droite est sécante et non concourante aux autres droites formant ainsi n nouvelles intersections avec les n droites déjà existantes. Donc Un+1 est bien égale à Un+n

beagle
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par beagle » 06 Oct 2021, 10:13

Bonjour,
tu nous dit:
"Voici ce que j'avais noté sur ma feuille avant ta réponse(" (celle de Ben314)
Don c on aimerait bien un après la réponse de Ben314, m'enfin...

Un détail, si tu définis Un pas forcément utile de faire une phrase pour Un+1.

Un truc a changer:
"ajouter une droite à Un" hum

Et sur le fond, ben oui la suite est ok car le truc est évident.
Mais au niveau démonstration pour les exos futurs e t à venir,
ben très nette préférence pour deux phrases différentes correspondant aux deux données différentes,
1)non secantes 2) non concourrantes
C'est bien pour cela que je disais que c'est pas en faisant du français écrit clairement que l'on fait un exo qui sert d'apprentissage pour résoudre les suivants...
Donc nette préférence aux deux phrases séparées comme Ben314 l'avait mis.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

GaBuZoMeu
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par GaBuZoMeu » 06 Oct 2021, 11:37

C'est bien en faisant du français écrit clairement et précisément qu'on apprend à écrire des démonstrations. Être clair et précis, écrire tout ce qu'il faut et juste ce qu'il faut, ça demande des efforts. Ces efforts pèsent, mais ils aident en fait le rédacteur ou la rédactrice à mieux comprendre en profondeur sa démonstration. Je l'ai constaté sur moi-même en écrivant des cours ou des articles.

beagle
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Re: Démontrer Un+1=Un+n par des phrases

par beagle » 06 Oct 2021, 11:58

Oui, c'est vrai également.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

 

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