Démontrer la formule de Brahmagupta [1S]

[mathelot]

Bonjour,

je vous propose en exercice de démontrer la formule de Brahmagupta

soit ABCD un quadrilatère.

on note a=AB,b=BC,c=CD,d=DA
l'aire du triangle ABC, l'aire de ADC
l'aire du quadrilatère, p son demi-périmètre


1) démontrer


2) en déduire


le 1er membre de l'égalité ressemble à une différence de 2 carrés.

3) obtenir la formule de Brahmagupta


remarque:
Peut-on généraliser à un (n+2)-gone convexe de sommets ?
avec une triangulation en n triangles de même sommet, d'aires


@+

[oscar]

ça ressemble à la formule de Héron( mais a;b:c) relative à l' aire
d' un trangla ABC de côtés a;b;c .

S = V p( p-a)(p+b)p-c) avec p = (a+b+c)/2


La formule demandée est relative à un quadrilatère de côtés a;b;c;d
avec p = (a+b+c+d) 2

[oscar]

L' aire S du quadrilatère ABCD inscriiptible est la SOMME des triangles ADB et BDC

Soit S = 1/2 ab sinA = 1/2 cd sin C

Comme A et C sont supplémentaires

S = 1/2 sinA ' ab + cd)

A continuer...

[mathelot]

Bonjour,

le quadrilatère n'est pas supposé inscriptible (dans un cercle)

[mathelot]

1) Ecrivons la longueur de diagonale de deux manières



il vient



on élève au carré:





mais les aires des deux triangles s'écrivent agréablement

et

en remplaçant par sa valeur



il reste à effectuer deux transformations qui sont similaires
remplacer par
et remplacer

par

il vient


puis






on factorise la différence des deux carrés


on continue de factoriser les différences de deux carrés


on introduisant le demi périmètre




en divisant par 16, on obtient la formule pour un quadrilatère quelconque d'aire S

on ordonne