Démontrer avec les vecteurs. Droite d'Euler.

[bubulle54]

J'ai une activitée à faire en dm et je n'ai pas très bien saisi quelques points. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait??
Voici mon sujet:
ABC est un triangle, O est le centre de son cerlce circonscrit ;) et G sont centre de gravité. A', B', C' désignent les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB].

I.Caractérisation vectorielle de l'orthocentre
On note H le point défini par OH = OA + OB + OC [1]( en vecteur car je ne sais pas comment il faut faire avec la flêche des vecteurs dans les smilies mathématiques)
Le but de cette partie esy de démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
1.a) Prouver à partir de [1] que AH = 2OA' (en vecteur).
b) Démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC).
2. Démontrez que (BH) est perpendiculaire à (AC).Concluez.

II.Droite d'Euler
1. Prouver que OH = 3OG [2] (en vecteur)
2.a) Examinons la question de savoir si O, G, H peuvent être confondus.
En utilisant [2], prouvez que si deux d'entre ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduise-en que ABC est 2quilatéral.
b) Réciproquement, si ABC est équilatéral, vérifiez que O, G et H sont confondus.
c) Que dire des point distincts O, G et H lorsque ABC est non équilatéral?

Pour la première partie j'ai trouvée pas mal de chose:
Pour la première question j'ai fais ceci:
OB = OA' + A'B et OC = OA' + A'C (d'après la relation de Chasles, en vecteur)
Donc OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'B (en vecteur)
Or, A'B + A'C = O vecteur nul(en vecteur)
Donc OB + OC = 2 OA' (en vecteur)

OH = OA + OB + OC et OB + OC = 2 OA' (en vecteur)
Donc OH = OA + 2OA' (en vecteur)
J'ajoute AO(en vecteur) au deux membres:
AO + OH = 2OA' (en vecteur)
AH = 2OA' (en vecteur)

Pour la question 1.b):
Le vecteur AH colinéaire à OA' qui est un vecteur directeur de la médiatrice de [BC].
On en deduit que (AH) est parallèle à (OA') et perpendiculaire à (BC).

Pour la question 2 je ne sais pas comment il faut que je démontre. Et comment je dois conclure.

Pour la deuxième partie je n'ai réussis qu'à faire la première question:
j'ai fais cela:
AG = 2/3AA' (en vecteur)
Donc GA = 2A'G (en vecteur)
GA = -2GA' (en vecteur)
Equivaut à GO + OA = -2(GO + OA') (en vecteur)
3OG = OA + 2OA' (en vecteur)
Or, OA + 2OA' = OH (en vecteur)
Donc OH = 3OG (en vecteur)
Je pense ne pas avoir fais de faute en faisant les relations.
Sinon pour le reste je ne sais pas du tout comment il faut faire.
Voilà j'espere que vous allez pouvoir m'aider.

bubulle54

[Imod]

Pour la question 2 de la première partie , il suffit de reprendre la question 1 en remplaçant A par B et A' par B' . Pour conclure , dans le triangle ABC comment s'appelle la perpendiculaire à (BC) passant par A et la perpendiculaire à (AC) passant par B ?

Imod

[bubulle54]

Les perpendiculaires sont les médiatrices??
Merci de m'avoir aidé.

[Imod]

Les perpendiculaires sont les médiatrices??

Non . Dans ce type d'exercice il est indispensable de connaître parfaitement les définitions des termes que l'on utilise : centre de gravité , orthocentre , centre du cercle ciconscrit , médiatrice , hauteur , médiane ...

Si tu as oublié ces termes , commence par les revoir avant de continuer l'exercice .

Imod

[bubulle54]

Je me suis trompée en disant les médiatrices. Car la perpendiculaire (BH) ne passe pas parle milieu (AC). Dans ce cas la je ne vois pas ce que c'est.

[Imod]

Tu peux rappeler la définition de l'orthocentre ?

Imod

[bubulle54]

la définition de l'orthocentre est le point concourant des 3 hauteurs

[Imod]

Bon , ça progresse , quelle est la définition d'une hauteur ?

Imod

[bubulle54]

une droite passant par un sommet et perpendiculairement au côté opposé à ce sommet.

[Imod]

Et tu ne vois pas le rapport avec la fin du I ?

Imod

[bubulle54]

Oui je vois maintenant merci de votre aide.