Démonstrations (Divers)

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes

Comment démontrer les résultats suivants ?

1)
2)
3)
En déduire :
4)
5)

Merci de m'aider

(1.S)

[Robic]

Bonjour Upium ! Encore en train de faire des maths pour le plaisir ?

Est-ce que tu connais le raisonnement par récurrence ? Certains des résultats de la liste peuvent peut-être se démontrer par récurrence (il faut essayer). Par exemple le 3) est assez facile avec cette technique, je viens de le faire.

Le 2) n'a pas l'air trivial, mais j'essaierais bien une récurrence aussi.

[upium666]

Bonjour Upium ! Encore en train de faire des maths pour le plaisir ?

Et comment ! :we:

Est-ce que tu connais le raisonnement par récurrence ? Certains des résultats de la liste peuvent peut-être se démontrer par récurrence (il faut essayer). Par exemple le 3) est assez facile avec cette technique, je viens de le faire.

Le 2) n'a pas l'air trivial, mais j'essaierais bien une récurrence aussi.

Personnellement, je ne trouve pas que la démonstration par récurrence mérite vraiment cette dénomination de "démonstration", c'est pour moi plus une ... vérification :s : Voilà la formule devant nous; Initialisation, héritage, etc... et voilà on l'a vérifié et on peut bien affirmer que c'est valable pour tous les termes à partir de ...
Ce que je cherche, ce sont des démonstrations pures et c'est malheureusement ce qui manque aujourd'hui, les programmes scolaires ne sont axés que sur les "vérifier", "démontrer par récurrence", "démontrer que pour ... alors ..."; c'est dommage : on appauvrit les esprits et on fait perdre aux Mathématiques leur beauté
Bref, là n'est pas le sujet

Je viens de trouver une démonstration (impure ne vous inquiétez-pas, je ne suis qu'en 1ère S :p ) concernant la question 3 :

3)

Vrai
Vrai
où
La formule est vraie pou : n=0 ; n=1 et n;)2
alors :

[Archytas]

Les démonstrations par récurrences ne sont pas des simples vérifications. Ce sont des démonstrations correctes et rigoureuses (si bien faites). Cette démonstration vient directement des axiomes de Peano sur la construction des entiers naturels.
C'est vrai que c'est moins joli et très répétitif mais ça simplifie énormément la vie !

Si tu veux une autre méthode tu peux montrer que c'est vrai pour des fonctions par exemple pour x>5 mais attention ça n'est n'est que vrai dans un sens et ça ne marche pas toujours (ici avec la stricte monotonie des fonctions ça devrait bien se faire).

[nodjim]

Pour la question 3, la formule du binôme de Newton que tu as écrite suffit largement, pas la peine de te casser la tête avec une récurrence.

[Archibald]

Vue comme ça, je me demande si la série du 2 n'est pas télescopique.

[Manny06]

Vue comme ça, je me demande si la série du 2 n'est pas télescopique.

effectivement on peut remplacer le terme général de la somme par
(1/4)(1+(1/2)/(2k-1)-(1/2)/(2k+1))

[gdlrdc]

Bonjour si tu ne veux pas de récurrence:

1) 2^n est le nombre de parties d'un ensemble E à n éléments.
n*(n-1)/2 est le nombre de parties à 2 éléments de E, il est égal au nombre de parties à n-2 éléments de E ( ces parties sont différentes des parties à 2 éléments pour n supérieur ou égal à 5)
n est le nombre de parties à 1 élément de E.
Conclusion:
Nombre de parties de E est supérieur au nombres de parties à 2 éléments+ nombres de parties à n-2 éléments+ nombres de parties à un élément, ce qui donne l'inégalité cherchée

ou si tu préfères dans la formule du binôme de Newton tu gardes k=1, k=2 et k=n-2 et tu remplaces x par 1 ce qui te donnes l'inégalité demandée

[Robic]

Upium, qu'est-ce qui te gêne dans la démonstration de récurrence ?

- Le principe de récurrence en soi ? C'est en fait un postulat de base sans lequel on ne pourrait pas construire les nombres entiers, donc en gros toutes les mathématiques...

- Le fait qu'on connaisse à l'avance la formule ? Ce sera également le cas si tu démontres les cinq résultats puisque les formules sont données. Mais c'est vrai qu'au lycée, vu qu'on nous donne tout le temps les formules à démontrer par récurrence, on peut avoir l'impression que cette technique ne marche que si on connaît le résultat à l'avance. (Avec les autres techniques, souvent on ne connaît pas le résultat et on le découvre en faisant les calculs - même si ce n'est pas le cas pour les cinq égalités ici.) En fait ce n'est pas une règle générale : on peut très bien nous demander de trouver une égalité sans l'annoncer à l'avance, et au fur et à mesure des calculs il y a une relation qui se dessine, et on voit qu'il faut la démontrer par récurrence. C'est par exemple le cas lorsqu'on veut calculer une intégrale avec un indice n : souvent, l'intégration par parties mène à trouver une relations de récurrence, et c'est elle qui permettra, après coup, d'obtenir le résultat final.

Autre utilité : souvent la récurrence est une technique qui permet de rendre rigoureux un raisonnement utilisant (au brouillon) les trois petits points (je parle des trois petits points comme dans 1+2+...+n). En quelque sorte le raisonnement au brouillon cachait une récurrence.

Bref, c'est bel et bien une technique de démonstration, pas seulement de vérification. Mais c'est intéressant, en effet, d'essayer de démontrer des égalités autrement. (Cela dit, si on utilise la formule du binôme, par exemple, n'a-t-elle pas, elle, été démontrée par récurrence ?...)