Demonstration

[jeunehomme]

Bonjour
Comment montrer que ln(a)+ln(b)<=ln(a+b)
Merci

[Faraziel]

Bonjour

Comme ce n'est pas indiqué, je prend pour a et b dans R+*

Et je suis désolé mais on ne peut démontrer ton inégalité car celle-ci est fausse, pour a=4 et b=6.
ln(4)+ln(6) = 3.18 environ, alors que ln(10) = 2.30, a peu près.

donc ln(4)+ln(6) > ln(10)

[ampholyte]

Bonjour,

En composant par l'exponentielle, on se rend vite compte que la formule est fausse pour a et b quelconques

[capitaine nuggets]

[quote="jeunehomme"]Bonjour
Comment montrer que ln(a)+ln(b)0.

Cela m'amène donc à te demander s'il y a des conditions sur a et b ?

[jeunehomme]

merci a tous
pour l’éclairage

[jeunehomme]

le but c'est de montrer que ab<=1/p*(a^p)+1/q*(b^q)
avec 1/p+1/q=1
voila

[Faraziel]

Tu peux nous donner dans quels ensembles sont a,b,p et q ?

[jeunehomme]

a et b dans dans R strictement positifs et p>1,q>1

[paquito]

Tu considère la fonction g(x) =ln(x)+ln(b)-ln (x+b) sur]0, +oo[; g'(x)=1/x-1/(x+b)>0, donc g est strictement croissante; on a lim en 0+ de g =-oo et lim en +oo de g=ln(b); donc si b>1, ça ne marche pas!

[tortue-geniale]

C'est plutôt Ln(a*b) = Ln(a) + Ln(b) dont tu voulais parler non?

[t.itou29]

[quote="jeunehomme"]le but c'est de montrer que ab=0), trouver son maximum sur R+ et l'exprimer en fonction de b (normalement tu trouves 1/q*b^q)

[paquito]

L'idée de t.itou est bonne, mais il faut exploiter ,

donc, on va écrire ;

; le maximum est atteint pour

et on vérifie bien que .

[jeunehomme]

ok
merci a t.itou29 et a paquito